Urvisere, 120 grader mellom dem?

[Aksiom]

Vi ser på en klokke, ved hvilke, om noen, klokkeslett står viserne slik at det dannes en nøyaktig 120 graders vinkel mellom hver viser og hver av de andre? Altså at vinkelen mellom time- og minuttviseren, time- og sekundviseren, minutt- og sekundviseren er 120 grader.

a) Dersom alle viserne er i konstant bevegelse, altså at de går helt "smooth"

b) Dersom viserne beveger seg en gang i sekundet.

c) Dersom viserne kun beveger seg når de skal forflyttes en hel enhet. Altså at sekundviseren går hvert sekund, minuttviseren går hver gang sekundviseren når tolv og timesviseren beveger seg hver gang minuttviseren når tolv.


Ser selvsagt helst at dette løses på en snedig matematisk måte, ikke ved at noen bare finner et klokkeslett som passer og skriver det

[2357]

Unnskyld meg om jeg misforstår. Men vi har en sirkel med 360 grader, og tre visere. Og du vil ha 60 grader mellom alle vinklene? Altså, hvis du har 60 grader mellom minuttviseren og timesviseren, så vil du danne 60 grader med begge samtidig, med sekundviseren? Personlig ser jeg noen problemer med dette, men kanskje jeg misforstår deg.

[Aksiom]

Mente selvsagt 120 grader.

[Charlatan]

Vet du at den øverste oppgaven har mulige løsninger?

[Aksiom]

Vi ser på en klokke, ved hvilke, om noen, klokkeslett står viserne slik at det dannes en nøyaktig 120 graders vinkel mellom hver viser og hver av de andre?

Nei, bevis gjerne at det ikke er noen mulige.

[Charlatan]

Hvis du visste om noen hadde det kunne vært jeg hadde gjort feil.

Kommer ihvertfall fram til at det aldri kan skje, om viserne går kontinuerlig.

Hvis vi beskriver hver viser som en vektorfunksjon:

Merk: [tex]r(t)=[\cos(t),\sin(t)][/tex] går MOT klokka som t vokser, og begynner på den positive siden av x-aksen (dvs klokka tre). Derfor må vi forandre retningen på viserne våre, i tillegg til å forskyve startpunktet 90 grader. Da får vi at:

[tex]r_{sek}=[\cos(\frac{\pi}{2}-\frac{2\pi}{60}\theta}),\sin(\frac{\pi}{2}-\frac{2\pi}{60}\theta})] = [\sin(\frac{\pi}{30} \theta), \cos(\frac{\pi}{30}\theta)][/tex] hvor [tex]\theta[/tex] er antall sekunder etter klokka tolv.
På samme måte kan vi beskriver minutt, og timeviseren:
[tex]r_{min}=[\sin(\frac{\pi}{1800} \theta), \cos(\frac{\pi}{1800}\theta)][/tex]
[tex]r_{time}=[\sin(\frac{\pi}{108000} \theta), \cos(\frac{\pi}{108000}\theta)][/tex]

Hvis vi nå antar at de danner 120 grader mellom seg, i de to mulige rekkefølgene (sekundviser, minuttviser, timeviser) og (sekundviser, timeviser, minuttviser) må skalarproduktene:

[tex]r_{sek} \cdot r_{min}=r_{min} \cdot r_{time}=r_{time} \cdot r_{sek}=\cos(\frac{\pi}{3})[/tex]

Da vil [tex]\sin(\frac{\pi}{30} \theta)\sin(\frac{\pi}{1800} \theta)+\cos(\frac{\pi}{30}\theta)\cos(\frac{\pi}{1800}\theta)=\frac{1}{2}[/tex] som impliserer at [tex]\cos(\frac{\pi}{30}\theta-\frac{\pi}{1800}\theta)=\frac{1}{2} \Rightarrow \frac{59\pi \theta}{1800}=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi k_1[/tex], for alle [tex]k_1 \in \mathbb{Z}[/tex]

Da må [tex]\theta=\frac{600+3600k_1}{59}[/tex]. Ettersom det er 43200 sekunder i 12 timer, må [tex]k_1[/tex] være mellom 0 og 707 inklusivt. eller [tex]\theta=\frac{-600+3600k_1}{59}[/tex] og [tex]k_1[/tex] er mellom 1 og 708.
På samme måte med de andre likningene vil vi oppnå:
[tex]\theta = \frac{\pm 36000+216000k_2}{59}[/tex] hvor [tex]k_2[/tex] er mellom 0 og 11. (1 og 11 hvis fortegnet er negativt).
[tex]\theta = \frac{\pm 36000+216000k_3}{3599}[/tex] hvor [tex]k_3[/tex] er mellom 0 og 719. (1 og 719 hvis fortegnet er negativt)

Hvis vi løser disse likningene samtidig, finner vi at [tex]600+3600k_1=36000+216000k_2[/tex] som medfører at [tex]k_1=9+\frac{5}{6}+60k_2[/tex] som aldri er et heltall. Ved alle variasjonene av forskjellig fortegn kommer vi til samme konklusjon, at [tex]k_1[/tex] ikke er et heltall. Derfor finnes det ingen løsninger for denne rekkefølgen. Den andre rekkefølgen følger direkte ettersom skalaproduktet er en kommutativ operasjon.