Diofantiske ligninger

[mrcreosote]

Finn alle heltallige løsninger til

a) [tex]y^2=x(x+1)(x+2)(x+3)+1[/tex]

b) [tex]y^2+y=x^4+x^3+x^2+x[/tex]

[Knuta]

oppgave a)

[tex]x(x+1)(x+2)(x+3)+1 = y^2[/tex]

ekspanderer

[tex]x^4+6x^3+11x^2+6x+1 = y^2[/tex]

faktoriserer

[tex] (x^2+3x+1)^2 = y^2 [/tex]

kvadratrot

[tex] x^2+3x+1 = y [/tex]

Konklusjonen er at dersom x er et heltall vil y også være det. Vi har uendelig mange løsninger

[mrcreosote]

Fint Knuta! Et hav av løsninger her. Den andre trur jeg bare har endelig mange.

[Knuta]

Jeg tittet litt på oppgave b). Prøvde å vri og vrenge litt på ligningen. Fant ut svaret på y dersom man oppga x. Men foreløpig fant jeg ikke noe svar på heltall. Men jeg fant noen verdier for x og y som kan brukes. Men det er ikke sikkert er de alle. Jeg skal jobbe litt mer med den i helgen da jeg får bedre tid.

[Knuta]

så lang i oppgave b)

[tex]y^2+y=x^4+x^3+x^2+x[/tex]

resultatet ved bruk av annengradsformelen blir:

[tex] y=-\frac{1 \pm \sqrt{4(x^4+x^3+x^2+x)+1}}{2} [/tex]

En ser raskt at summen under rottegnet må være et kvadrattall som ikke er delig på 2 for at y skal være et heltall. Siden summen under rottegnet aldri kan deles på to, slipper vi å tenke mer over den biten. Da holder det med å finne ut om [tex]4(x^4+x^3+x^2+x)+1[/tex] er et kvadrattall.

Jeg fant tre forekomster av x som tilfredstiller noen løsninger.

x=-1, y={-1, 0}
x=0, y={-1, 0}
x=2, y={-6, 5}

Jeg tror ikke det finnes flere forkomster, men så var det å bevise det da. Kanskje noen andre har lyst til å prøve vidre på det?

[mrcreosote]

Det er alle løsningene det.

Bevishint: Prøv å legge diskriminanten mellom 2 påfølgende kvadrater.