Sokrates har 7 ulike sokkepar. Hver mandag morra plukker han ut 2 tilfeldige blant de 14 sokkene, disse trenger ikke være et par, og bruker de til han tar de av seg om kvelden og kaster de til vask. Tirsdag morra gjentar det seg, han velger 2 tilfeldige sokker blant de 12 gjenværende, og slik går nå uka. Søndag kveld vasker han alle 14 sokkene og begynner på nytt igjen dagen etter.
a) Hvor ofte kan Sokrates regne med å gå ei hel uke med like sokker hver dag?
b) Hva er sannsynligheta for at Sokrates ikke har like sokker noen dag i løpet av ei uke?
c) Hvilken ukedag er det mest sannsynlig at Sokrates har like sokker?
d) I det lange løp, hvor mange dager i uka kan Sokrates forventes å gå med like sokker?
e) Gjenta oppgavene ovafor når Sokrates har n ulike sokkepar og ei uke består av n dager.
Sokrates og sokkene
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
La X være antall par han plukker ut i uka:
a)
For å kunne regne med å ha like sokker hver dag, må han hver gang han plukker ut en sokk, velge én unik sokk blant alle de andre.
[tex]P(X=7)=(1 \cdot \frac{1}{13}) \cdot (1 \cdot \frac{1}{11}) \cdot ... \cdot (1 \cdot \frac{1}{1})=\frac{1}{ 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 9 \cdot 11 \cdot 13}[/tex]
En annen måte å regne det på er å finne ut hvor mange kombinasjoner man kan velge sokker som er 14!. Så se etter hvor mange kombinasjoner man kan velge hvert par som er 7!, og siden man kan velge to forskjellige sokker for hvert par, blir [tex]P(X=7)=2^7 \cdot \frac{7!}{14!}[/tex]
Generalisert får vi [tex]P(X=n)=2^n \cdot \frac{n!}{(2n)!}[/tex]
b)
edit:denne var visst feil
Jeg stemte 'vet ikke' for jeg har 100 sokker og alle ligner veldig.
a)
For å kunne regne med å ha like sokker hver dag, må han hver gang han plukker ut en sokk, velge én unik sokk blant alle de andre.
[tex]P(X=7)=(1 \cdot \frac{1}{13}) \cdot (1 \cdot \frac{1}{11}) \cdot ... \cdot (1 \cdot \frac{1}{1})=\frac{1}{ 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 9 \cdot 11 \cdot 13}[/tex]
En annen måte å regne det på er å finne ut hvor mange kombinasjoner man kan velge sokker som er 14!. Så se etter hvor mange kombinasjoner man kan velge hvert par som er 7!, og siden man kan velge to forskjellige sokker for hvert par, blir [tex]P(X=7)=2^7 \cdot \frac{7!}{14!}[/tex]
Generalisert får vi [tex]P(X=n)=2^n \cdot \frac{n!}{(2n)!}[/tex]
b)
edit:denne var visst feil
Jeg stemte 'vet ikke' for jeg har 100 sokker og alle ligner veldig.
Sist redigert av Charlatan den 18/08-2008 06:25, redigert 2 ganger totalt.
Etter litt tenking kom jeg fram til dette:
La sokrates ha n par med sokker. Legg hvert par i en vertise på en graf. Nå kan hver vertise ha to kanter til andre vertiser, slik at hver kant representerer et valg.
La X være antall par sokker Sokrates velger ut i en periode på n dager.
Vi ser litt på [tex]P(X=n)[/tex], altså sannsynligheten for at sokrates har på seg et riktig par sokker hver dag. På en graf vil dette illustreres som at hver vertise har én kant som møter den samme vertisen. En loop i hver vertise. Siden det er n av disse vertisene, så kan Sokrates velge på n! forskjellige måter mellom parene, og for hver rekkefølge, er det 2 forskjellige måter å velge på, den ene eller den andre sokken. Siden det er n valg, blir antall måter å velge på [tex]2^n \cdot n![/tex].
Men dette er bare antall måter å velge KUN riktige par. Antall måter å velge totalt er [tex](2n)![/tex], fordi for hver sokk du velger, er det nå én mindre å velge mellom.
Derfor får vi at [tex]P(X=n)= \frac{2^n \cdot n!}{(2n)!}[/tex]
Dette skal vi bruke videre.
Hvis vi ser på [tex]P(X=n-1)[/tex], så ser vi at denne sannsynligheten er lik 0. Hvis man kun én dag skulle gå med feil par sokker, så innebærer det av man bruker av to forskjellige par, og én eller annen gang må han bruke disse sokkene. Men parene finnes ikke, for de har Sokrates brukt, så det må være minst 2 dager han går med feil par sokker.
Så [tex]P(X=n-1)=0[/tex].
Når vi skal se på [tex]P(X=n-k)[/tex], for [tex]k=2,3,...,n[/tex], så må vi ta for oss mulige kombinasjoner mellom par som skal blandes.
Vi ser at for at Sokrates skal gå k dager med feil par, er det et sett med k vertiser som skal kunne dannes uten noen looper (fordi Sokrates skal ikke velge noen riktige par i denne gruppen). Derfor må vi se på måter å binde en graf, uten looper, slik at hver vertise har en grad av 2. (Grafen kan være disjunkt, og det kan eksistere dobbeltkanter, altså to kanter mellom to forskjellige vertiser)
Vi ser på et sett med r vertiser, slik at man fra en vilkårlig vertise kan gå til alle andre vertiser på grafen. Siden alle vertisene er 2, må grafen være isomorf med et regulært pentagon med r kanter, og den kan formes på (r-1)! måter, fordi den er ikke unik om man kun roterer den.
La oss nå se på hvor mange måter et sett med k vertiser kan deles opp i grupper med minst 2 på hver gruppe.
Grupper på 2: [tex]{k \choose 2}[/tex]
Grupper på 3: [tex]{k \choose 3}[/tex]
.
.
:
Grupper på r: [tex]{k \choose r}[/tex]
For hver gruppe på r er det altså [tex](r-1)![/tex] forskjellige måter å kombinere kantene på, så [tex]S_1= \sum ^{k}_{r=2} { k \choose r } (r-1)![/tex] vil bli det totale antallet måter vi kan kombinere kantene i et sett på k vertiser slik at det alle har grad 2, og det ikke eksisterer noen looper.
Siden hver vertise representerer et par, har vi ytterligere måter å kombinere valg på. Hvis vi velger én vertise, har vi 2 valg å velge sokk på, når vi trekker linjen til neste vertise, er det der enda 2 sokker å velge mellom. Det er kun siste vertisen som kun har ét valg - den plassen den første sokken ikke er. Så i en graf som ikke er disjunkt, er det [tex]2^{r-1}[/tex] måter å kombinere sokker på hvis kantene allerede er bestemt.
Så [tex]S=\sum ^{k}_{r=2} 2^{r-1}{ k \choose r } (r-1)![/tex] angir hvor mange måter valgene mellom sokker i en gruppe på k par.
Se på hver vertise som en beholder av to sokker. Det er kanter mellom hver sokk i disse vertisene. Ta nå og legg i hver vertise kun sokker som har en kant mellom seg. Da får vi en gruppe på k vertiser hvor det er en kant mellom hver sokk i samme vertise. Disse er nå identiske med de resterende [tex]n-k[/tex] riktige parene med kant mellom seg. Derfor kan vi bruke samme formel som vi brukte når vi fant [tex]P(X=n)[/tex].
Da får vi at [tex]P(X=n-k)=S \cdot P(X=n)=\large[\sum ^{k}_{r=2} 2^{r-1}{ k \choose r } (r-1)! \large] \cdot \frac{2^n \cdot n!}{(2n)!}[/tex], for [tex]k=2,3,...,n[/tex]
PS: jeg definerer en loop slik at den gir en vertise grad 2
EDIT: Æsj, det viser seg å være feil. Det er mest sannsynlig i måten jeg finner hvor mange måter man kan dele inn en graf i grupper på minst 2 på. (EDIT-EDIT: Ja, jeg ser det bare er tull nå.... )Skal tenke litt mer på det.... Med et uttrykk for P(X=n-k) kunne man ha løst b og d, men å komme til et generelt lukket uttrykk for dem med n sokker blir noe annet.
La sokrates ha n par med sokker. Legg hvert par i en vertise på en graf. Nå kan hver vertise ha to kanter til andre vertiser, slik at hver kant representerer et valg.
La X være antall par sokker Sokrates velger ut i en periode på n dager.
Vi ser litt på [tex]P(X=n)[/tex], altså sannsynligheten for at sokrates har på seg et riktig par sokker hver dag. På en graf vil dette illustreres som at hver vertise har én kant som møter den samme vertisen. En loop i hver vertise. Siden det er n av disse vertisene, så kan Sokrates velge på n! forskjellige måter mellom parene, og for hver rekkefølge, er det 2 forskjellige måter å velge på, den ene eller den andre sokken. Siden det er n valg, blir antall måter å velge på [tex]2^n \cdot n![/tex].
Men dette er bare antall måter å velge KUN riktige par. Antall måter å velge totalt er [tex](2n)![/tex], fordi for hver sokk du velger, er det nå én mindre å velge mellom.
Derfor får vi at [tex]P(X=n)= \frac{2^n \cdot n!}{(2n)!}[/tex]
Dette skal vi bruke videre.
Hvis vi ser på [tex]P(X=n-1)[/tex], så ser vi at denne sannsynligheten er lik 0. Hvis man kun én dag skulle gå med feil par sokker, så innebærer det av man bruker av to forskjellige par, og én eller annen gang må han bruke disse sokkene. Men parene finnes ikke, for de har Sokrates brukt, så det må være minst 2 dager han går med feil par sokker.
Så [tex]P(X=n-1)=0[/tex].
Når vi skal se på [tex]P(X=n-k)[/tex], for [tex]k=2,3,...,n[/tex], så må vi ta for oss mulige kombinasjoner mellom par som skal blandes.
Vi ser at for at Sokrates skal gå k dager med feil par, er det et sett med k vertiser som skal kunne dannes uten noen looper (fordi Sokrates skal ikke velge noen riktige par i denne gruppen). Derfor må vi se på måter å binde en graf, uten looper, slik at hver vertise har en grad av 2. (Grafen kan være disjunkt, og det kan eksistere dobbeltkanter, altså to kanter mellom to forskjellige vertiser)
Vi ser på et sett med r vertiser, slik at man fra en vilkårlig vertise kan gå til alle andre vertiser på grafen. Siden alle vertisene er 2, må grafen være isomorf med et regulært pentagon med r kanter, og den kan formes på (r-1)! måter, fordi den er ikke unik om man kun roterer den.
La oss nå se på hvor mange måter et sett med k vertiser kan deles opp i grupper med minst 2 på hver gruppe.
Grupper på 2: [tex]{k \choose 2}[/tex]
Grupper på 3: [tex]{k \choose 3}[/tex]
.
.
:
Grupper på r: [tex]{k \choose r}[/tex]
For hver gruppe på r er det altså [tex](r-1)![/tex] forskjellige måter å kombinere kantene på, så [tex]S_1= \sum ^{k}_{r=2} { k \choose r } (r-1)![/tex] vil bli det totale antallet måter vi kan kombinere kantene i et sett på k vertiser slik at det alle har grad 2, og det ikke eksisterer noen looper.
Siden hver vertise representerer et par, har vi ytterligere måter å kombinere valg på. Hvis vi velger én vertise, har vi 2 valg å velge sokk på, når vi trekker linjen til neste vertise, er det der enda 2 sokker å velge mellom. Det er kun siste vertisen som kun har ét valg - den plassen den første sokken ikke er. Så i en graf som ikke er disjunkt, er det [tex]2^{r-1}[/tex] måter å kombinere sokker på hvis kantene allerede er bestemt.
Så [tex]S=\sum ^{k}_{r=2} 2^{r-1}{ k \choose r } (r-1)![/tex] angir hvor mange måter valgene mellom sokker i en gruppe på k par.
Se på hver vertise som en beholder av to sokker. Det er kanter mellom hver sokk i disse vertisene. Ta nå og legg i hver vertise kun sokker som har en kant mellom seg. Da får vi en gruppe på k vertiser hvor det er en kant mellom hver sokk i samme vertise. Disse er nå identiske med de resterende [tex]n-k[/tex] riktige parene med kant mellom seg. Derfor kan vi bruke samme formel som vi brukte når vi fant [tex]P(X=n)[/tex].
Da får vi at [tex]P(X=n-k)=S \cdot P(X=n)=\large[\sum ^{k}_{r=2} 2^{r-1}{ k \choose r } (r-1)! \large] \cdot \frac{2^n \cdot n!}{(2n)!}[/tex], for [tex]k=2,3,...,n[/tex]
PS: jeg definerer en loop slik at den gir en vertise grad 2
EDIT: Æsj, det viser seg å være feil. Det er mest sannsynlig i måten jeg finner hvor mange måter man kan dele inn en graf i grupper på minst 2 på. (EDIT-EDIT: Ja, jeg ser det bare er tull nå.... )Skal tenke litt mer på det.... Med et uttrykk for P(X=n-k) kunne man ha løst b og d, men å komme til et generelt lukket uttrykk for dem med n sokker blir noe annet.
Som vanlig ville jeg prøve å kjøre dette igjennom et program. Jeg antok at sokrates levde i 10[sup]9[/sup] uker og resultatet er nedenfor.
a) Hvor ofte kan Sokrates regne med å gå ei hel uke med like sokker hver dag?
Det ser ut som at det er 38 ganger av sjansen i å vinne full pott i lotto.
b) Hva er sannsynligheta for at Sokrates ikke har like sokker noen dag i løpet av ei uke?
omtrent 42 %
c) Hvilken ukedag er det mest sannsynlig at Sokrates har like sokker?
Ser ut som det ikke har noen betydning. Alle dager er like.
d) I det lange løp, hvor mange dager i uka kan Sokrates forventes å gå med like sokker?
1/2 dag
e) Gjenta oppgavene ovafor når Sokrates har n ulike sokkepar og ei uke består av n dager.
litt vanskelig med n sokker og n dager i dette programmet.
Jeg stemte på at moren min sorterte sokkene men nå er det et problem. Sokkene er røkt opp.
a) Hvor ofte kan Sokrates regne med å gå ei hel uke med like sokker hver dag?
Det ser ut som at det er 38 ganger av sjansen i å vinne full pott i lotto.
b) Hva er sannsynligheta for at Sokrates ikke har like sokker noen dag i løpet av ei uke?
omtrent 42 %
c) Hvilken ukedag er det mest sannsynlig at Sokrates har like sokker?
Ser ut som det ikke har noen betydning. Alle dager er like.
d) I det lange løp, hvor mange dager i uka kan Sokrates forventes å gå med like sokker?
1/2 dag
e) Gjenta oppgavene ovafor når Sokrates har n ulike sokkepar og ei uke består av n dager.
litt vanskelig med n sokker og n dager i dette programmet.
Kode: Velg alt
Dag: 1 Ant: 76921070
Dag: 2 Ant: 76928231
Dag: 3 Ant: 76919693
Dag: 4 Ant: 76925912
Dag: 5 Ant: 76920874
Dag: 6 Ant: 76927690
Dag: 7 Ant: 76927006
Dager pr. uke: 0 Ant: 584651053
Dager pr. uke: 1 Ant: 312878204
Dager pr. uke: 2 Ant: 84544249
Dager pr. uke: 3 Ant: 15534779
Dager pr. uke: 4 Ant: 2073754
Dager pr. uke: 5 Ant: 310653
Dager pr. uke: 6 Ant: 0
Dager pr. uke: 7 Ant: 7308
Jeg stemte på at moren min sorterte sokkene men nå er det et problem. Sokkene er røkt opp.
Geogebra: http://www.geogebra.org/cms/
Utfordringer: http://projecteuler.net/index.php?section=problems
[tex]M_{2147483647}[/tex] er ikke et primtall. 295257526626031 deler det.
Utfordringer: http://projecteuler.net/index.php?section=problems
[tex]M_{2147483647}[/tex] er ikke et primtall. 295257526626031 deler det.
Tenk deg at Sokrates har syv skuffer, merket med dagene - mandag ... søndag. Et sett med skuffer med ett par sokker i hver skuff kaller vi en ukekonfigurasjon.
Vi skal altså permutere 7 objekter, slik at permutasjonen ikke har noen fikspunter. Antall permutasjoner av n objekter uten fikspunter viser seg å være [tex] [\frac{n!}{e}][/tex] (der klammene er avrunding til nærmeste heltall) - bevis for det kan vi fylle på med ved en senere anledning.
Vi plasserer altså ut alle "venstresokkene" i skuffene først. Dette gir oss 7! muligheter. Deretter finner vi partnere til disse sokkene - Det finnes det [tex][\frac{7!}{e}] = 1854[/tex] muligheter for. Men ved bare å multiplisere disse, har vi overtelt antall ukekonfigurasjoner vi ønsker med en faktor på 2 - dette kan vi illustrere slik: La oss si vi har sju sokketyper S[sub]1[/sub] ... S[sub]7[/sub]
Tenk på følgende ukekonfigurajonsmulighet (tenk på skuffene som de loddrette kolonnene):
V: S[sub]1[/sub] S[sub]2[/sub] S[sub]3[/sub] S[sub]4[/sub] S[sub]5[/sub] S[sub]6[/sub] S[sub]7[/sub]
H: S[sub]2[/sub] S[sub]3[/sub] S[sub]4[/sub] S[sub]5[/sub] S[sub]6[/sub] S[sub]7[/sub] S[sub]1[/sub]
Dette er akkurat samme konfigurasjon som:
V: S[sub]2[/sub] S[sub]3[/sub] S[sub]4[/sub] S[sub]5[/sub] S[sub]6[/sub] S[sub]7[/sub] S[sub]1[/sub]
H: S[sub]1[/sub] S[sub]2[/sub] S[sub]3[/sub] S[sub]4[/sub] S[sub]5[/sub] S[sub]6[/sub] S[sub]7[/sub]
Dermed vil det finnes [tex]\frac{1854 \cdot 7!}{2}[/tex] ukekonfigurasjoner der ingen sokker er like. Sannsynligheten for at Sokrates ikke vil ha ett eneste skikkelig sokkepar en gitt uke er da [tex]\frac{1854\cdot 7! \cdot2^6}{14!}= \frac{103}{15015}[/tex].
Jeg har kommet til den erkjennelse at Omo Ultra må være for sokker det H[sub]2[/sub]SO[sub]4[/sub] er for kalk. Jeg er lei av å kjøpe nye par. Nå hender det jeg lar det skure og gå med de jeg har.
Får ta siste del på morgenkvisten, tror jeg. Håper logikken i argumentasjonen over holder så langt...
Det finnes 14! måter å permutere de 14 sokkene i skuffene på, men vi må ta høyde for at sokker i par ikke kan skjelnes fra hverandre. Slik får vi altså [tex]\frac{14!}{2^7}[/tex] ulike ukekonfigurasjoner. Det finnes 7! ulike måter å putte hele par i hver skuff. Sannsynligheten for at Sokrates går med like sokker hver dag er da [tex]\frac{7! 2^7}{14!}[/tex], og han kan regne med at han har like sokker alle dagene hver [tex]\frac{14!}{7! 2^7}=135135[/tex]'te ukemrcreosote skrev: a) Hvor ofte kan Sokrates regne med å gå ei hel uke med like sokker hver dag?
Vi skal nå skape oss en ukekonfigurasjon der det ikke finnes to like sokker i hver skuff. Ta en sokk i hvert par og kall den en "venstresokk." Vi tar først "venstresokkene," og putter dem i ulike skuffer. Vi tar deretter "høyresokkene" og putter dem i skuffene, slik at de oppfyller kravet om at ingen skuffer har to like sokker. Ved først bare å tenke på mulige parringer av høyre- og venstresokker kan vi se på problemet slik: Vi har en mengde på 7 objekter som skal parres med objekter fra samme mengde, men på en slik måte at ingen objekter parres med seg selv.mrcreosote skrev:b) Hva er sannsynligheta for at Sokrates ikke har like sokker noen dag i løpet av ei uke?
Vi skal altså permutere 7 objekter, slik at permutasjonen ikke har noen fikspunter. Antall permutasjoner av n objekter uten fikspunter viser seg å være [tex] [\frac{n!}{e}][/tex] (der klammene er avrunding til nærmeste heltall) - bevis for det kan vi fylle på med ved en senere anledning.
Vi plasserer altså ut alle "venstresokkene" i skuffene først. Dette gir oss 7! muligheter. Deretter finner vi partnere til disse sokkene - Det finnes det [tex][\frac{7!}{e}] = 1854[/tex] muligheter for. Men ved bare å multiplisere disse, har vi overtelt antall ukekonfigurasjoner vi ønsker med en faktor på 2 - dette kan vi illustrere slik: La oss si vi har sju sokketyper S[sub]1[/sub] ... S[sub]7[/sub]
Tenk på følgende ukekonfigurajonsmulighet (tenk på skuffene som de loddrette kolonnene):
V: S[sub]1[/sub] S[sub]2[/sub] S[sub]3[/sub] S[sub]4[/sub] S[sub]5[/sub] S[sub]6[/sub] S[sub]7[/sub]
H: S[sub]2[/sub] S[sub]3[/sub] S[sub]4[/sub] S[sub]5[/sub] S[sub]6[/sub] S[sub]7[/sub] S[sub]1[/sub]
Dette er akkurat samme konfigurasjon som:
V: S[sub]2[/sub] S[sub]3[/sub] S[sub]4[/sub] S[sub]5[/sub] S[sub]6[/sub] S[sub]7[/sub] S[sub]1[/sub]
H: S[sub]1[/sub] S[sub]2[/sub] S[sub]3[/sub] S[sub]4[/sub] S[sub]5[/sub] S[sub]6[/sub] S[sub]7[/sub]
Dermed vil det finnes [tex]\frac{1854 \cdot 7!}{2}[/tex] ukekonfigurasjoner der ingen sokker er like. Sannsynligheten for at Sokrates ikke vil ha ett eneste skikkelig sokkepar en gitt uke er da [tex]\frac{1854\cdot 7! \cdot2^6}{14!}= \frac{103}{15015}[/tex].
Det finnes ingen ukedag som har høyere sannsynlighet for dette enn andre. Tenk deg at Sokrates har et ultimat sokkeskap[sup]TM[/sup], som inneholder hauger av skuffegrupper med skuffer merket mandag... søndag, der hver eneste ukekonfigurasjon er representert. Anta at det finnes en dag som er mer sannsynlig enn de andre. Gå nå rundt og permuter skuffeetikettene på alle skuffene i alle skuffegruppene på samme måte, slik at skuffen med navnet på denne dagen forandres. Vi har fremdeles representert alle mulige ukekonfigurasjoner, men vil ha forandret dagen med høyest sannsynlighet for like sokker. Dette er helt klart en umulighet.mrcreosote skrev:c) Hvilken ukedag er det mest sannsynlig at Sokrates har like sokker?
Jeg har kommet til den erkjennelse at Omo Ultra må være for sokker det H[sub]2[/sub]SO[sub]4[/sub] er for kalk. Jeg er lei av å kjøpe nye par. Nå hender det jeg lar det skure og gå med de jeg har.
Får ta siste del på morgenkvisten, tror jeg. Håper logikken i argumentasjonen over holder så langt...