Her er noen vektoroppgaver til fremtidige og tidligere R1/2MX elever.
Kryssende tangenter
En sirkel ligger i planet med sentrum i origo (Det betyr fint lite hvor sentrum befinner seg. For litt ekstra street cred, la den ha sentrum i punktet [tex]S=(x_s,y_s)[/tex]) Vi tar for oss punktene [tex]T_1=(x_1,y_1)[/tex] og [tex]T_2=x_2,y_2[/tex]. Anta at disse ligger på sirkelperiferien. Finn punktet der tangentene i disse punktene krysser hverandre.
Gi en kort forklaring på fremgangsmåten.
Avstand mellom punkt og linje
Et punkt [tex]P=(x_1,y_1)[/tex] og linja [tex]y=ax+b[/tex] ligger i planet. Utled avstanden mellom punktet og linja. (Hint: Finn to punkter på linja på "hver sin side" av punktet P)
Spiral
En spiral er gitt ved posisjonsvektoren [tex]\vec{p}(t)=[\frac{t}{2\pi}sin(t),\frac{t}{2\pi}cos(t)][/tex]. Finn fartsvektoren [tex]\vec{v}(t)[/tex] og aksellerasjonsvektoren [tex]\vec{a}(t)[/tex] som en funksjon av [tex]t[/tex] og finn lengden på spiralen etter en tid [tex]t[/tex].
Edit:
La til oppgaven "Spiral".
Vektorer i planet
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Sist redigert av espen180 den 19/08-2008 11:44, redigert 2 ganger totalt.
Hehe, tror ikke noe av dette er 2mx hvertfall, på kap.8 nå
Men løselig er det![Smile :)](./images/smilies/icon_smile.gif)
Tar spiralen jeg.
[tex]\vec{p_{(t)}}=[\frac{t}{2\pi}sin(t),\frac{t}{2\pi}cos(t)][/tex]
[tex]\vec{v_{(t)}}=[\frac{1}{2\pi}sin(t)+\frac{t}{2\pi}cos(t),\frac{1}{2\pi}cos(t)-\frac{t}{2\pi}sin(t)][/tex]
Spiralens lengde er gitt av integralet under ved bruk av fartsvektoren:
[tex]\int_{t_0}^{t_n}p^\prime_{(t)}dt=\int_{t_0}^{t_n}\vec{v_{(t)}}dt[/tex]
[tex]\vec{a_{(t)}}=[\frac{1}{\pi}cos(t)-\frac{t}{2\pi}sin(t),-\frac{1}{\pi}sin(t)-\frac{t}{2\pi}cos(t)][/tex]
Håper dette er rett![Very Happy :D](./images/smilies/icon_biggrin.gif)
![Razz :P](./images/smilies/icon_razz.gif)
Men løselig er det
![Smile :)](./images/smilies/icon_smile.gif)
Tar spiralen jeg.
[tex]\vec{p_{(t)}}=[\frac{t}{2\pi}sin(t),\frac{t}{2\pi}cos(t)][/tex]
[tex]\vec{v_{(t)}}=[\frac{1}{2\pi}sin(t)+\frac{t}{2\pi}cos(t),\frac{1}{2\pi}cos(t)-\frac{t}{2\pi}sin(t)][/tex]
Spiralens lengde er gitt av integralet under ved bruk av fartsvektoren:
[tex]\int_{t_0}^{t_n}p^\prime_{(t)}dt=\int_{t_0}^{t_n}\vec{v_{(t)}}dt[/tex]
[tex]\vec{a_{(t)}}=[\frac{1}{\pi}cos(t)-\frac{t}{2\pi}sin(t),-\frac{1}{\pi}sin(t)-\frac{t}{2\pi}cos(t)][/tex]
Håper dette er rett
![Very Happy :D](./images/smilies/icon_biggrin.gif)
Flott arbeid! Alt ser riktig ut. ![Very Happy :D](./images/smilies/icon_biggrin.gif)
![Very Happy :D](./images/smilies/icon_biggrin.gif)
Vi vet at de to punktene ligger på sirkelperiferien, og derfor må de stå ortogonalt på radiusvektoren (hvordan skriver man pilen over vektorer i tex?). Dette kan man bruke til å finne retningsvektoren til de to tangentene ved å bruke at [tex][a,b][-b,a]=0[/tex]. Vi vet i tillegg et punkt på hvert av linjene, og dette er nok til å parametrisere dem. Ender opp med dette:Espen180 skrev:Kryssende tangenter
En sirkel ligger i planet med sentrum i origo (Det betyr fint lite hvor sentrum befinner seg. For litt ekstra street cred, la den ha sentrum i punktet [tex]S=(x_s,y_s)[/tex]) Vi tar for oss punktene [tex]T_1=(x_1,y_1)[/tex] og [tex]T_2=x_2,y_2[/tex]. Anta at disse ligger på sirkelperiferien. Finn punktet der tangentene i disse punktene krysser hverandre.
Gi en kort forklaring på fremgangsmåten.
[tex]t_1:[/tex]
[tex]x=x_1-y_1t[/tex] og [tex]y=y_1+x_1t[/tex]
[tex]t_2[/tex]
[tex]x=x_2-y_2s[/tex] og [tex]y=y_2+x_2s[/tex]
Vi finner at:
[tex]t=\frac{y_2^2-y_1y_2+x_2^2-x_2x_1}{x_1y_2-x_2y_1}[/tex]
Krysningpunktet K blir (oppgitt i separate koordinater for ordens skyld):
[tex]x_K=x_1-y_1 \cdot \frac{y_2^2-y_1y_2+x_2^2-x_2x_1}{x_1y_2-x_2y_1}[/tex]
[tex]y_K=y_1+x_1\frac{y_2^2-y_1y_2+x_2^2-x_2x_1}{x_1y_2-x_2y_1}[/tex]
Edit: Den generelle formelen for en sirkel med sentrum i [tex]x_s,y_s[/tex].
Her trenger man bare å bytte ut "radiusvektoren" (d.v.s. posisjonsvektoren), med vektoren fra sentrum til henholdsvis [tex]T_1[/tex] og [tex]T_2[/tex].
Den generelle formelen vi får er:
[tex]x_K=x_1+(y_s-y_1) \cdot \frac{(y_2-y_s)^2-(y_1-y_s)(y_2-y_s)+(x_2-x_s)^2-(x_2-x_s)(x_1-x_s)}{(x_1-x_s){(y_2-y_s)-(x_2-x_s)(y_1-y_s)}[/tex]
[tex]y_K=y_1+(x_1-x_s) \cdot \frac{(y_2-y_s)^2-(y_1-y_s)(y_2-y_s)+(x_2-x_s)^2-(x_2-x_s)(x_1-x_s)}{(x_1-x_s){(y_2-y_s)-(x_2-x_s)(y_1-y_s)}[/tex]