Nøtt - hund bundet til sirkelformet hus

[Badeball]

Enda en meget god nøtt jeg fant på http://mathproblems.info/group5.html (problem #97).

Tenk deg et hus formet som en sirkel med radius 1. En hund er bundet med et tau av lenge PI til et fast punkt på veggen til huset (alt foregår i 2 dimensjoner her altså). Hunden kan ikke gå inn i huset. Hvor stort areal kan hunden bevege seg på? Sjekk linken over for figur.

[mrcreosote]

Symmetrien gjør at vi kun kikker på øvre halvplan. Her ser vi at vi har en kvartsirkel hvis areal er pi^3/4 til venstre for x=-1. Vi må også huske å trekke fra husarealet; pi/2.

Bikkja når lengst på strålen fra origo som danner en positiv vinkel theta med den positive delen av x-aksen når bandet er tangent til huset. (Bra setning. Nøkkelen er å observere at bikkja gjør best i å la bandet være tangent til huset.) Pytagoras gir at denne lengden er [tex]\sqrt{1+(\pi-\theta)^2}[/tex].

Arealet bikkja dekker er derfor [tex]2(\frac14\pi^3-\frac12\pi+\frac12\int_0^\pi(1+(\pi-\theta)^2) d\theta) = \frac56\pi^3[/tex].

[Badeball]

Svaret du får er korrekt, men hvis jeg tolker fremgangsmåten din riktig, så er den feil, til tross for rett svar. Nå må du stoppe meg hvis jeg har misforstått fremgangsmåten din!

Jeg mener at du gjør to ting feil som opphever hverandre:

#1 Når du integrerer, så bruker du differensialet d(theta), men dette er ikke riktig differensial, for theta er ikke vinkelen linjestykket fra sirkelens sentrum til hundens punkt danner med x-aksen.

#2 Hvis du hadde brukt riktig differensial, så ville svaret blitt feil, fordi r(theta) sveiper ikke over hele området, selv om theta gjør det. Det mangler et trekantformet område. Jeg gjorde denne feilen selv først, men glemte samtidig å trekke fra arealet til huset, så jeg fikk også rett svar selv uten rett fremgangsmåte.

[mrcreosote]

Du har helt rett. Minus og minus blei absurd nok til pluss.