Kom over en fin nøtt på hjemmesiden til Harvard University sitt fysikkinstitutt:
Tenk deg at vi har et utstrakt gummibånd som ved t = 0 har lengde L0, og som er bundet til en vegg i ene enden, mens andre enden dras horisontalt vekk fra veggen med konstant hastighet lik v. Ved t = 0 befinner det seg en maur på den frie enden av gummibåndet (x = L0), og denne kryper med fart u (målt i forhold til underlaget den kryper på) mot veggen hvor båndet er festet.
Vil mauren noensinne nå veggen, og i så fall, hvor lang tid tar det?
Nøtt - maur kryper langs gummibånd
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Vi får se litt heuristisk på det i utgangspunktet: Det er ikke slik at ethvert punkt på båndet beveger seg med hastighet v, det viktigste unntaket er selvsagt punktet på bånden som ligger ved veggen. Hastigheten på båndet under mauren må da endres i forhold til hvilken relativ posisjon den befinner seg i på båndet. Hvis mauren beveger seg i forhold til båndet, mot veggen, må da finnes et tidspunkt fra hvilket hastigheten på båndet under mauren alltid vil være lavere enn hastigheten den beveger seg mot veggen med. Den vil alltid kunne komme i mål, så lenge den beveger seg.
Så får vi prøve å se litt matematisk på det. Vi innarbeider IKKE noe relativitet inn i dette. Det kan noen andre få lov til å kose seg med.
La P(t) være avstanden mellom mauren og veggen. La maurens hastighet u peke mot veggen, og båndets ytterhastighet v ifra den.
Mauren beveger seg med hastighet u relativt til båndet, og blir dratt av båndet med en hastighet proposjonal med punktets relative posisjon. Altså:
[tex] \frac{\rm{d}P(t)}{\rm{d}t} = v\frac{P(t)}{L+vt} - u[/tex]
Dette ordner seg med integrerende faktor [tex]\frac{1}{L+vt}[/tex], og gir
[tex]\frac{\rm{d}}{\rm{d}t}\frac{P(t)}{L+vt}=-\frac{u}{L+vt} \\ P(t) = (L+vt)(C-\frac{u}{v}\ln(L+vt))[/tex]
Som med initialbetingelsen [tex]P(0) = L[/tex] gir
[tex]P(t)=(L+vt)(\frac{u}{v} \ln(\frac{L}{L+vt}) + 1)[/tex]
Tiden det tar for mauren å nå veggen blir da når andre faktor i uttrykket over forsvinner, altså når [tex]t = \frac{L}{v}(e^{\frac v u} -1)[/tex]
(Og som kjapp kontroll ser vi at enheten for [tex][t] = \left[ \frac{L}{v} \right] = \frac{\rm{m}}{\rm{m/s}} = \rm{s}[/tex]. Betryggende...)
Så får vi prøve å se litt matematisk på det. Vi innarbeider IKKE noe relativitet inn i dette. Det kan noen andre få lov til å kose seg med.
La P(t) være avstanden mellom mauren og veggen. La maurens hastighet u peke mot veggen, og båndets ytterhastighet v ifra den.
Mauren beveger seg med hastighet u relativt til båndet, og blir dratt av båndet med en hastighet proposjonal med punktets relative posisjon. Altså:
[tex] \frac{\rm{d}P(t)}{\rm{d}t} = v\frac{P(t)}{L+vt} - u[/tex]
Dette ordner seg med integrerende faktor [tex]\frac{1}{L+vt}[/tex], og gir
[tex]\frac{\rm{d}}{\rm{d}t}\frac{P(t)}{L+vt}=-\frac{u}{L+vt} \\ P(t) = (L+vt)(C-\frac{u}{v}\ln(L+vt))[/tex]
Som med initialbetingelsen [tex]P(0) = L[/tex] gir
[tex]P(t)=(L+vt)(\frac{u}{v} \ln(\frac{L}{L+vt}) + 1)[/tex]
Tiden det tar for mauren å nå veggen blir da når andre faktor i uttrykket over forsvinner, altså når [tex]t = \frac{L}{v}(e^{\frac v u} -1)[/tex]
(Og som kjapp kontroll ser vi at enheten for [tex][t] = \left[ \frac{L}{v} \right] = \frac{\rm{m}}{\rm{m/s}} = \rm{s}[/tex]. Betryggende...)