Likhet med hele tall

[espen180]

[tex]1+2=3 \\ 4+5+6=7+8 \\ 9+10+11+12=13+14+15 \\ 16+17+18+19+20=21+22+23+24 \\ ...[/tex]

Kall første linje [tex]a_1[/tex], andre linje [tex]a_2[/tex] osv. slik at [tex]a_1: 1+2=3[/tex], [tex]a_2: 4+5+6=7+8[/tex] osv.
Finn venstre og høyre side av likhetstegnet i [tex]a_n[/tex]. Vis at VS=HS i [tex]a_n[/tex]

[Vektormannen]

Observerer at det første leddet på venstresida i linje [tex]a_n[/tex] er gitt ved [tex]n^2[/tex]. Venstresida er så summen av dette og de n neste tallene:

[tex]VS = \sum_{i = n^2}^{n^2 + n}i[/tex].

Høyresida starter på det neste tallet i rekka, og er summen av dette og de (n - 1) påfølgende tallene:

[tex]HS \ \ = \ \ \sum_{i = n^2 + n + 1}^{n^2 + n + 1 + n - 1}i \ \ = \ \ \sum_{i = n^2 + n + 1}^{n^2 + 2n}i[/tex]

Ved å benytte at [tex]\sum_{i = n}^{m}i = \frac{(m - n + 1)(m + n)}{2}[/tex] får vi følgende:

[tex]VS = \frac{(n^2 + n - n^2 + 1)(n^2 + n + n^2)}{2} = \frac{(n + 1)(2n^2 + n)}{2} = \frac{2n^3 + n^2 + 2n^2 + n}{2} = \frac{2n^3 + 3n^2 + n}{2}[/tex]

[tex]HS = \frac{(n^2 + 2n - (n^2 + n + 1) + 1)(n^2 + 2n + n^2 + n + 1)}{2} = \frac{n(2n^2 + 3n + 1)}{2} = \frac{2n^3 + 3n^2 + n}{2}[/tex]

Vi kan konkludere med at VS = HS.

[espen180]

Glimrende, vektormannen!