matematikk.net

Fant dette i en eksamen fra MAT1100

[tex]\int \frac{2x+1}{x^2-2x+2} \rm{d}x[/tex]

[tex]I=\int\frac{2x+1}{x^2-2x+2}\rm{d}x[/tex]

[tex]u=x^2-2x+2,\,\ \frac{\rm{d}u}{\rm{d}x}=2x-2[/tex]

[tex]\rm{d}x=\frac{\rm{d}u}{2x-2}[/tex]

[tex]I=\int\frac{2x+1+2-2}{u(2x-2)}\rm{d}u=\int\frac{2x-2}{u(2x-2)}\rm{d}u+\int\frac3{u(2x-2)}\rm{d}u[/tex]

[tex]I=I_1+I_2[/tex]

[tex]I_1=\int\frac1{u}\rm{d}u=\ln|u|+C=\ln|x^2-2x+2|+C_1[/tex]

[tex]I_2=\int\frac{3}{x^2-2x+2}\rm{d}x[/tex]

Skriver om nevner. (a^2-2ab+b^2)=(a-b)^2, a=x, b=1

[tex]I_2=\int\frac3{1+(x-1)^2}\rm{d}x[/tex]

[tex]u=x-1,\,\ \rm{d}x=\rm{d}u[/tex]

[tex]I_2=\int\frac3{1+u^2}\rm{d}u=3\arctan(u)+C_2=3\arctan(x-1)+C_2[/tex]

[tex]I=\ln|x^2-2x+2|+3\arctan(x-1)+C,\,\ C=C_1+C_2[/tex]

Her er en liten seminøtt for VGS-elever

[tex]\int\frac{\sqr x}{1+\sqr x}\rm{d}x[/tex]

Olorin skrev:Her er en liten seminøtt for VGS-elever
[tex]\int\frac{\sqr x}{1+\sqr x}\rm{d}x[/tex]

Hint;

[tex]u=\sqrt x[/tex]

Edit:

Janhaa skrev:

Olorin skrev:Her er en liten seminøtt for VGS-elever
[tex]\int\frac{\sqr x}{1+\sqr x}\rm{d}x[/tex]

Hint;

[tex]u=\sqrt x[/tex]

Kan også sette [tex]u=1+\sqr{x}[/tex] Begge fører vel frem såvidt jeg husker

Olorin skrev:Her er en liten seminøtt for VGS-elever

[tex]\int\frac{\sqr x}{1+\sqr x}\rm{d}x[/tex]

Usikker på denne. Har ikke så mye erfaring med integraler ennå.

[tex]u=\sqrt{x}+1 \\ \int \frac{u-1}{u}\rm{d}u=\int \rm{d}u + \int \frac{1}{u}\rm{d}u =u+ln(u)+C=\sqrt{x}+1+\ln(\sqrt{x}+1)+C[/tex]

Her skar det seg. Hvor gikk det egentlig galt?

Du har ikke substituert riktig.

Takk. Tenkte meg det. Kunne du gi meg en hint til hvordan jeg burde substituere?

Hmm...jeg begynte som deg Espen, men fortsatte med at:

[tex]\frac{u-1}{u}=1-\frac{1}{u}[/tex].

Edit: - jeg går og legger meg.

[tex]\frac{\rm{d}u}{\rm{d}x} \cdot \frac{1}{2(u-1)}=1[/tex] har du sikkert kommet fram til. Gang inn dette.

Dere kan ikke kun substituere et uttrykk med en variabel, og deretter integrere med hensyn på variabelen! [tex]\int f(u) u^\prime \rm{d}x= \int f(u) \rm{d}u[/tex],

Kan det stemme at svaret er [tex]x-2 sqrt x + 2 ln (sqrt x+1)[/tex]?

Ja, det stemmer.

Olorin skrev:Her er en liten seminøtt for VGS-elever

[tex]\int\frac{\sqr x}{1+\sqr x}\rm{d}x[/tex]

Dette er ikke mitt verk, jeg fikk hjelp, men slik løste de det.

[tex]u = \sqrt x + 1 \\ \, \\ \Rightarrow x = (u-1)^2[/tex]

[tex]dx = 2(u-1)du[/tex]

[tex]2\cdot \int \frac{(u-1)}{u} \cdot (u-1)du = 2\cdot \int \frac{u^2 -2u + 1}{u} du = 2\int \left( u - 2 + \frac 1u\right) du \;\ldots[/tex]