matematikk.net

Her følger en oppgave fra fysikkoppgavesettet vårt tidligere i uka:

En masse med posisjonsvektor [tex]\vec r[/tex] beveger seg rett vekk fra origo og er utsatt for en kraft [tex]\vec F (\vec r) = \frac{A \vec r}{|\vec r|^\beta}[/tex] for en positiv konstant A. For hvilke verdier av [tex]\beta[/tex] vil massen nå uendeligheten på endelig (altså, ikke-uendelig) tid?

Jeg fikk at tiden blir endelig så lenge beta < 0

Stemmer. Legg gjerne ut løsningen din

Lar massen starte i ro i punktet x = a og gå utover mot uendelig langs x-aksen. Finner arbeidet gjort på massen ved å integerere uttrykket for kraften. Finner så farten til legemet, siden den kinetiske energien er lik arbeidet. Når man har farten som en funksjon av x, så vet jeg at tiden det tar for legemet å bevege seg fra a til b er integralet fra a til b av 1/v(x) dx. Integralet jeg får er litt kjipt, men siden jeg kun er ute etter å se for hvilke beta integralet fra a til uendelig er endelig, så kan jeg gjøre en tilnærming (dvs se bort i fra ene leddet under et rottegn) som gjør det lett å se at integralet blir endelig hviss beta < 0.

Kom gjerne med flere mekanikkoppgaver!