matematikk.net

Hvis [tex]\alpha \in \left( 0,\frac{\pi}{2} \right)[/tex], er det mulig at [tex]\sin(\alpha), \cos(\alpha), \tan(\alpha), \cot(\alpha)[/tex] (i en viss rekkefølge) danner en aritmetisk rekke?

Nei. Men dette blir ikke pent. Først ser vi at hvis alpha duger, duger pi/2-alpha også og at alpha=pi/4 ikke duger, så vi kan nøyes med å se på når alpha er i (0,pi/4). La [tex]x=\sin\alpha[/tex]; legg merke til at [tex]0<x<\frac{\sqrt2}2[/tex] Da er med [tex]y=\sqrt{1-x^2}[/tex] de andre størrelsene y, x/y og y/x. Vi har også at enten er I) x<x/y<y<y/x eller II) x<y<x/y<y/x.

I) Skal de 3 siste danne ei aritmetisk rekke, må 2y=x/y+y/x eller etter litt rydding [tex]2x^3-2x+1=0[/tex]. Dette krasjer med intervallet x skulle ligge i.

II) Nå må vi ha 2x/y=y+y/x eller [tex]f(x)=x^3+3x^2-x-1=0[/tex]. Dessuten må 2y=x+x/y eller [tex]g(x)=5x^4+4x^3-8x^2-4x+4=0[/tex]. Ingen x tilfredsstiller begge disse ligningene. Det kan vi vise sånn: Vi må ha at [tex]g(x)-(5x-11)f(x)=30x^2-10x-7=0[/tex]. Denne er lett å løse, og setter vi inn den ene mulige løsninga i f(x) får vi ikke 0. Derfor kan vi ikke ha det.

Jeg er imponert over alle de rare talla som valgte å dukke opp i denne oppgava. Har du ei løsning uten så mye griserier, Zivert?

Her kommer min løsning som jeg tok litt på sparket egentlig...
La [tex]a= \sin \alpha [/tex] og [tex]b=\cos \alpha[/tex]. Uten tap av generalitet kan vi anta at a<b (slik mrcreosote forklarte).
Som sagt, da alpha er i det gitte intervallet, har vi to tilfeller :
[tex]I) \,\,a<b<\frac{a}{b}<\frac{b}{a}[/tex]
[tex]II) \,\,a<\frac{a}{b}<b<\frac{b}{a}[/tex]
Om disse fire er i aritmetisk rekke har vi i både I) og II) at:
[tex]a-b=\frac{a}{b}-\frac{b}{a} \Rightarrow[/tex]
[tex]a-b=\frac{(a-b)(a+b)}{ab} \Rightarrow[/tex]
[tex]ab=a+b \Rightarrow[/tex]
[tex](a-1)(b-1)=1[/tex]
Men dette er stemmer ikke da vi vet at 0<a,b<1.

Hmmm... Jeg har ikke sett løsningen på oppgaven, og det var heller ikke jeg som prøvde meg på oppgaven under BW (Jarle). Kan dette stemme, ser nesten litt for enkelt ut