matematikk.net

Hvis P(x),Q(x),R(x) og S(x) er polynomer slik at

[tex]P(x^5)+xQ(x^5)+x^2R(x^5)=(x^4+x^3+x^2+x+1)S(x),[/tex]

vis at [tex]x-1[/tex] er en faktor av P(x).

La [tex] \zeta[/tex] være femte enhetsrot. Da ser vi at
[tex]P(1) + \zeta Q(1) + \zeta^2R(1) = 0 \\ P(1) + \zeta^2 Q(1) + \zeta^4 R(1) = 0 \\ P(1) + \zeta^3 Q(1) + \zeta^6R(1) = 0 \\ P(1) + \zeta^4 Q(1) + \zeta^8R(1) = 0 [/tex]

Summer vi disse får vi [tex]4P(1) = 0[/tex], og derfra følger påstanden.

Vår vi ikke P(1)-Q(1)-R(1) =0 da?

Du mener 4P(1) - Q(1) - R(1) = 0. Huff, jo, var litt kjapp på avtrekkern der

Mjada, men dersom vi multipliserer likningene over med [tex]-\zeta, -\zeta^2, -\zeta^3, -\zeta^4[/tex]

Får vi

[tex]- \zeta P(1) - \zeta^2Q(1) - \zeta^3R(1) = 0 \\ -\zeta^2 P(1) - \zeta^4Q(1) - \zeta R(1) = 0 \\ -\zeta^3 P(1) - \zeta Q(1) - \zeta^4R(1) = 0 \\ - \zeta^4P(1) - \zeta^3Q(1) - \zeta^2R(1) = 0[/tex]

Legger vi sammen alle 8 får vi [tex]5P(1) = 0[/tex], og da var vi ferdige.

Ser riktig ut det!
Har du en oppfølger?

Her er en: La n og k være positive heltall så [tex]x^{2k}-x^k+1[/tex] deler [tex]x^{2n}+x^n+1[/tex]. Vis at [tex]x^{2k}+x^k+1[/tex] deler [tex]x^{2n}+x^n+1[/tex].