matematikk.net

Så godt som alle oppgavene her er jo langt over videregående nivå, og jeg tror nok det er flere under dette som også trives med oppgaver. Meget mulig jeg tar feil, men jeg synes det er kjekt med noen veldig enkle også, jeg. Lurte på om jeg skulle legge denne under Bevis, men siden det er en oppgave kan den heller komme her.

Bevis:
[tex]1+2+3+...+n = \frac{n(n+1)}{2}[/tex]

Oppfølgingsspørsmål kommer nok, hvis dere vil, da.

[tex]1+2+3+...+n = \frac{n(n+1)}{2}[/tex]

Da ser jeg at det er n tall til sammen, og at gjennomsnittet av dem er (n+1)/2. For å få summen ganger man selvfølgelig gjennomsnittet med antall tall, og får n(n+1)/2

Ikke så veldig bra bevis, men jeg skjønte det hvertfall.

Hva med denne da?

Bevis at summen av de [tex]n[/tex] første naturlige oddetallene er [tex]n^2[/tex].

Et annet bevis for den første oppgaven:

[tex]S_n=\sum_{i=1}^ni \\ 2S_n=2\sum_{i=1}^ni=\sum_{i=1}^n\left(i+(n-i+1)\right)=\sum_{i=1}^n (n+1)=n^2+n \\ S_n=n\frac{n+1}{2}[/tex]


Uten summetegnene, for de som ikke ser hva som skjer:

[tex]S_n=1+2+3+4+...+n \\ 2S_n=1+1+2+2+3+3+4+4+...+n+n=(1+n)+(2+n-1)+(3+n-2)+(4+n-3)+...+(n+1)=n(n+1) \\ S_n=n\frac{n+1}{2}[/tex]

Veldig bra, Espen. Selv har jeg ikke lært meg noe særlig med notasjoner, men det ser veldig bra ut.

Takk, Realist1

Oppgave 2:

[tex]S_n=\sum_{i=1}^n (2i-1) \\ 2S_n=2\sum_{i=1}^n (2i-1)=\sum_{i=1}^n \left( (2i-1)+\left(2n-(2i-1)\right) \right)=2n^2 \\ S_n=n^2[/tex]

Hehe, er dette altfor lett?

Det som er enkelt for noen kan være vanskelig for andre vet du, så spørsmålet ditt er veldig relativt.

[tex]\frac{1}{4} + \left(\frac{1}{4}\right)^2 + \left(\frac{1}{4}\right)^3 + ... = \frac{1}{3}[/tex]

Bevis den, og lær meg en mer matematisk korrekt måte å skrive det på.

Hmm, kan forsøke.

[tex]\sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{4}\right)^n=\frac13[/tex]

Hmm. Uendelig geometerisk rekke.

Skriver om på "formelform": [tex]S=\sum_{n=1}^\infty \left(a_1\cdot k^{n-1}\right)=\frac{a_1}{1-k}[/tex]

Blir da [tex]S=\sum_{n=1}^\infty \left(\frac14\left(\frac{1}{4}\right)^{n-1}\right)=\frac{\frac14}{1-\frac14}=\frac{\frac14}{\frac34}=\frac13[/tex].

Ikke så mye til bevis her da. Mer bruk av formel for å løse en oppgave.

Vel, siden jeg ikke er i stand til å holde følge med det der, får jeg la tvilen komme til gode og godkjenne det.

Bevis:
[tex]1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 = (1+2+3+...+n)^2[/tex]

Den klarer jeg nok ikke. Har aldri jobbet med noe lignende før.

Vi er kanskje beveget oss litt utenfor det som kan klassifiseres som enkelt, ja. Skylder på at du var den eneste som svarte og at du tok alt, altfor lett.

Jeg lar denne oppgaven stå til den er løst, så slipper flere oppgaver å være ute samtidig.

Denne kan vises med induksjon.

Vi ser at for n = 1 så stemmer påstanden; [tex]1^3 = 1^2[/tex]. Hvis vi nå kan vise at, gitt at det gjelder for et tall n = k, også gjelder for n = k+1, må det gjelde for alle tall.

Vi går altså ut i fra at følgende holder: [tex]1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + k^3 = (1+2+3+...+k)^2[/tex].

Nå ser vi hva som skjer om vi øker n med 1. Da har vi at [tex]1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + k + (k+1)^3 = (1+2+3+...+k+k+1)^2[/tex].

Vi ser på differansen mellom disse to likhetene:

[tex](1^3 + 2^3 + 3^3 + ... k^3 + (k+1)^3) - (1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + k^3) = (1+2+3+...+k+k+1)^2 - (1+2+3+...+k)^2[/tex]

Mye strykes bort på venstresida, og på høyresida har vi en konjugatsetning:

[tex](k+1)^3 = ((1+2+3+...+k+k+1) - (1+2+3+...k))((1+2+3+...+k+k+1) + (1+2+3+...+k))[/tex]

Nå ser vi på høyresiden. Den ene faktoren kan forenkles kraftig -- alle leddene unntatt k+1 strykes bort -- og vi kan trekke sammen i den andre faktoren:

[tex](k+1)^3 = (k+1) \cdot (2(1+2+3+...+k) + k+1)[/tex]

Vi gjenkjenner summen av heltallene i faktoren til høyre og får

[tex](k+1)^3 = (k+1) \cdot (\cancel{2} \cdot \frac{(k(k+1)}{\cancel{2}} + k+1)[/tex]

Faktoriserer ut fellesfaktoren k+1:

[tex](k+1)^3 = (k+1) \cdot (k+1)(k + 1) = (k+1)^3[/tex]

Dermed, hvis vi antar at det stemmer for n = k, stemmer likheten også for n = k+1. Når vi i tillegg har vist at det holder for n = 1, må det derfor holde for n = 2 også. Men da må det også holde for n = 3, og så videre.

Edit: og etter FredrikMs kommentar slår det meg at dette kanskje kan vises veldig mye enklere :p

espen180 skrev:Den klarer jeg nok ikke. Har aldri jobbet med noe lignende før.

Løses greit ved induksjon og ved å gjenkjenne høyresiden som en enkel aritmetisk rekke (som ble vist litt lenger opp å være [tex]n\frac{n+1}{2}[/tex]

Forøvrig har jeg litt problemer med å henge med på hvordan du gjør ting i det første "summe-tegn"-beviset ditt.