matematikk.net

La [tex]a,b,c\in \mathbb{R^+}[/tex] og vi har gitt at [tex]b>a[/tex] og [tex]b^2\leq 4ac[/tex].
Finn minimum av følgende utrykk:
[tex]\frac{a+b+c}{b-a}[/tex]

Hva [tex]\mathbb{R^+}[/tex]? Alle positive reele tallene eller hva???

Ja. Jeg kunne like gjerne sagt at a,b og c er positive reelle tall.

[tex]T:=\frac{a+b+c}{b-a}=\frac{b-a+2a+c}{b-a}=1+\frac{2a+c}{b-a} =1+\frac{2ac+c^2}{bc-ac}.[/tex]

[tex]bc-ac=c(b-a)>0[/tex] og [tex]ac \geq \frac{b^2}{4} \Rightarrow T \geq 1+\frac{\frac{b^2}{2}+c^2}{bc-\frac{b^2}{4}}=1+\frac{2+4(\frac{c}{b})^2}{4(\frac{c}{b})-1}[/tex]

La [tex]x:=\frac{c}{b}>0[/tex]

[tex]f(x):=\frac{2+4x^2}{4x-1}=x+\frac{x+2}{4x-1}. \\ \\ f^\prime(x)=1-\frac{9}{(4x-1)^2 } \Rightarrow ( f^\prime(x)=0 \Rightarrow x=1)[/tex]

[tex]\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Updownarrow[/tex]

[tex]T \geq 1+f(1)=3[/tex].

Velger vi f.eks [tex]a=1, \ b=c=4[/tex] oppnår vi likheten.

Vi har at [tex]c \geq \frac{b^2}{4a} [/tex] derfor er:
[tex]\frac{a+b+c}{b-a}\geq \frac{a+b+\frac{b^2}{4a}}{b-a}[/tex]
La [tex]b=a+x[/tex], da er [tex]x>0[/tex].
[tex]\frac{a+b+\frac{b^2}{4a}}{b-a}= \frac{a+a+x+\frac{a^2+2ax+ x^2}{4a}}{x}=\frac{\frac{9}{4}a+\frac{3}{2}x+\frac{x^2}{4a}}{x}=\frac{9a}{4x}+\frac{3}{2}+ \frac{x}{4a}[/tex]
Av AM-GM har vi at:
[tex]\frac{9a}{4x}+\frac{x}{4a} \geq \sqrt{\frac{9a}{2x} \cdot \frac{x}{2a}}=\frac{3}{2}[/tex]
Derfor har vi at:
[tex]\frac{a+b+c}{b-a}\geq 3[/tex]
Og likhet har vi når f.eks (slik Jarle skrev) når a=1 og b=c=4. Derfor er 3 minimum av utrykket.