"Lette" tallteorioppgaver

[Sonki]

Her er et par relativt "enkle" oppgaver innenfor tallteori. Jeg beklager hvis de har blitt skrevet på forumet før. Alle oppgavene er tatt fra boken "The Art and Craft of Problem Solving" av Paul Zeitz

1: Vis at hvis [tex]a^2+b^2 = c^2[/tex], så vil [tex]2[/tex] dele [tex]ab[/tex]

2: Vis at summen av to etterfølgende primtall aldri er på formen [tex]2p[/tex], hvor [tex]p[/tex] er prim

3: Finn alle primtall [tex]p[/tex] slik at [tex]p^2+2[/tex] er prim

[Vektormannen]

2)

[tex]p_n + p_{n+1} = 2p[/tex]

[tex]\frac{p_n + p_{n+1}}{2} = p[/tex]

p blir snittet av de to primtallene, som må være et tall mellom dem. Men hvis det er et tall mellom et primtall og det neste primtallet, kan det umulig være et primtall.

[Vektormannen]

1) Vi må vise at 2 er faktor i enten a eller b. Det er det samme som å vise at både a og b ikke kan være oddetall hvis [tex]a^2 + b^2 = c^2[/tex]. Vi lar a og b være vilkårlige oddetall a = 2n-1 og b = 2k-1.

[tex]c^2 = a^2 + b^2 = (2n-1)^2 + (2k-1)^2 = 2(2n^2 - n + 2k^2 - k + 1) = 2(p+1)[/tex]

som umulig er et kvadrattall for alle p > 1.

edit: Tror det blir noe sånt hvertfall .. men jeg er langt fra sikker

[mrcreosote]

Du er inne på noe, men den siste påstanden stemmer ikke; p=7 er et moteksempel.

[Vektormannen]

Haha, "litt" korttenkt der ja.

[moth]

Pøver på oppgave 3

[tex](p_1)^2+2=p_2[/tex]

kan skrives om til [tex](6n\pm1)^2+2=p[/tex]


Sjekker begge tilfeller:
1
[tex](6n+1)^2+2=p[/tex]

[tex]36n^2+12n+3=p[/tex]


2
[tex](6n-1)^2+2=p[/tex]

[tex]36n^2-12n+3=p[/tex]

Siden begge disse primtallene kan deles på 3 kan de ikke være primtall. Derfor er 3 det eneste riktige primtallet.

Edit 3: glem de andre editene

[mrcreosote]

Du har tenkt helt riktig, men utregninga di var ikke stort å skryte av. Ta den en gang til så tenker jeg du straks er i mål!

Edit: Og den var til Vektormannen.

[Charlatan]

vi har motsigelse hvis [tex]a^2[/tex] og [tex]b^2[/tex] er lik 1 mod 4, siden [tex]c^2[/tex] ikke er lik 2 mod 4. Dermed må minst ét av kvadratene være delelig på 4, og dermed étt av tallene være delelig på 2.

[Camlon1]

En enkel metode å gjøre oppgave 1 på synes jeg er dette

a og b må være oddetall for at ab ikke skal være delelig på 2. Dermed

[tex]a^2+b^2 \equiv (1(mod 2)) ^2 + (1(mod 2)) ^2 \equiv 2(mod 4)[/tex] , men
[tex]c^2 \equiv (1(mod 2)) ^2 \equiv 1 (mod 4)[/tex] eller
[tex]c^2 \equiv (0(mod 2)) ^2 \equiv 0 (mod 4)[/tex]