I en konkurranse er det [tex]a[/tex] konkurrenter og [tex]b[/tex] dommere, hvor [tex]b \geq 3[/tex] er et oddetall. Hver dommer dømmer hver konkurrent som enten "godkjent" eller "ikke godkjent".
Anta at [tex]k[/tex] er et tall slik at for ethvert par av dommere så vil de ha dømt hver konkurrent likt maksimalt [tex]k[/tex] ganger.
Vis at [tex]\frac{k}{a} \geq \frac{b-1}{2b}[/tex]
Konkurranse
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Jeg har et løsningsforslag, men jeg er ikke helt sikker på om det stemmer, så bare kritiser enhver feil jeg har 
Starter med å sette [tex]b=2n+1[/tex], som forandrer uttryket til:
[tex]\frac{k}{a} \geq \frac{n}{2n+1}[/tex]
Jeg bruker så dueboksprinsippet for å finne en grense til [tex]k[/tex]
vi setter: [tex]x[/tex] - antall par av like dommer gjort av dommerne (altså hvis to dommere har dømt en person likt, så regnes disse to dommene som et slikt par)
og [tex]y[/tex] - antall par med dommere
Ved dueboksprinsippet vil da [tex] k\geq \fra{x}{y}[/tex]
Vi får åpenbart at [tex]y = {2n+1\choose2}[/tex]
Hvis vi så ser på en vilkårlig person, og observerer hvor mange dommere som har dømt ham likt, så får vi at det er:
[tex] {i \choose 2} + {j \choose 2}[/tex], hvor [tex]i[/tex] er antall personer som dømt personen "godkjent", og [tex]j[/tex] er antall personer som har dømt ham som "ikke godkjent". Vi kan vise at den minste verdien av dette er når [tex]i=n, j=n+1[/tex] eller motsatt. Da får vi og at:
[tex]x \geq a({n \choose 2} + {n+1 \choose2})[/tex]. Dette gir at:
[tex]\frac{k}{a} \geq \frac{\frac{x}{y}}{a} \geq \frac{a*(\frac{{n \choose 2} + {n+1 \choose2}}{2n+1\choose2})}{a} = \frac{{n \choose 2} + {n+1 \choose2}}{2n+1\choose2} = \frac{\frac{n(n-1) + (n+1)n}{2}}{\frac{(2n+1)*2n}{2}} = \frac{(n-1)+(n+1)}{2(2n+1)} = \frac{n}{2n+1} [/tex]
QED
Starter med å sette [tex]b=2n+1[/tex], som forandrer uttryket til:
[tex]\frac{k}{a} \geq \frac{n}{2n+1}[/tex]
Jeg bruker så dueboksprinsippet for å finne en grense til [tex]k[/tex]
vi setter: [tex]x[/tex] - antall par av like dommer gjort av dommerne (altså hvis to dommere har dømt en person likt, så regnes disse to dommene som et slikt par)
og [tex]y[/tex] - antall par med dommere
Ved dueboksprinsippet vil da [tex] k\geq \fra{x}{y}[/tex]
Vi får åpenbart at [tex]y = {2n+1\choose2}[/tex]
Hvis vi så ser på en vilkårlig person, og observerer hvor mange dommere som har dømt ham likt, så får vi at det er:
[tex] {i \choose 2} + {j \choose 2}[/tex], hvor [tex]i[/tex] er antall personer som dømt personen "godkjent", og [tex]j[/tex] er antall personer som har dømt ham som "ikke godkjent". Vi kan vise at den minste verdien av dette er når [tex]i=n, j=n+1[/tex] eller motsatt. Da får vi og at:
[tex]x \geq a({n \choose 2} + {n+1 \choose2})[/tex]. Dette gir at:
[tex]\frac{k}{a} \geq \frac{\frac{x}{y}}{a} \geq \frac{a*(\frac{{n \choose 2} + {n+1 \choose2}}{2n+1\choose2})}{a} = \frac{{n \choose 2} + {n+1 \choose2}}{2n+1\choose2} = \frac{\frac{n(n-1) + (n+1)n}{2}}{\frac{(2n+1)*2n}{2}} = \frac{(n-1)+(n+1)}{2(2n+1)} = \frac{n}{2n+1} [/tex]
QED