matematikk.net

Hvor mange tallpar [tex](p,q)[/tex] finnes det som tilfredsstiller

[tex]p^3+q^3=n^2\, ,\,p,q,n\in\mathbb{Z}[/tex]

Har ikke svaret selv.

Inspirert av innlegget til mrcreosot, espen ?

Tatt på fersen.

Hvis jeg skal være i det kjedelige hjørnet, sier jeg at det er uendelig mange løsninger; la p+q=n=0 der p er et heltall.

Hva om vi endrer det slik at [tex]p,q,n\in\mathbb{N}[/tex] da?

Det finnes uendelig antall løsninger.
La[tex] p=q=2x^2[/tex] da er [tex]p^3+q^3=16x^6=(4x^3)^2[/tex]
Dette er gyldige løsninger for alle positive heltall x.

Hva med hvis [tex]p \not= q[/tex]? Blir det noe verre da?

Edit
Nei, da kan man vel bare sette
[tex]p = x^2[/tex] og [tex]q = 2x^2[/tex]. Da får man

[tex]p^3 + q^3 = x^6 + 8x^6 = 9x^6 = (3x^3)^2 = n^2[/tex]

Og vips, uendelig mange løsninger.

Generalisering: Vis at [tex]x^n+y^n=z^{n-1}[/tex] der n er et gitt positivt heltall har uendelig mange løsninger i positive heltall.

La [tex]\,x=y=2^{n-2}\cdot k^{n-1}\,[/tex] da har vi:
[tex]x^{n}+y^{n}=2(2^{n-2}\cdot k^{n-1})^{n}=2^{n^2-2n+1}\cdot k^{n^2-n}=(2^{n-1}\cdot k^{n})^{n-1}[/tex]

Det jeg tror hadde vært interessant, hadde vært å spørre om antall løsninger der gcd(x,y)=1...

Hva med å finne antall n slik at

[tex]p^{n+2}+q^{n+2}=k^n\,,\,q,p,k,n\in\mathbb{N}[/tex]

er løselig?