matematikk.net

Litt vanskeligere enn de rett-fram-oppgavene som står i vgs-bøker.

Løs ligningen

[tex]\sqrt{x^2-5x+4}-\sqrt{x^2-10x+9}=x-1[/tex]

[tex]\sqrt{x^2-5x+4}-\sqrt{x^2-10x+9}=x-1[/tex]

[tex]\sqrt{x-1}\sqrt{x-4}-\sqrt{x-1}\sqrt{x-9}=x-1[/tex]

[tex]\sqrt{x-4}-\sqrt{x-9}=\sqrt{x-1}[/tex]

[tex](\sqrt{x-4}-\sqrt{x-9})^2=x-1[/tex]

[tex]2\sqrt{x-4}\sqrt{x-9}=x-12[/tex]

[tex]4(x-4)(x-9)=(x-12)^2[/tex]

[tex]3x^2-28x=0[/tex]

[tex]x(3x-28)=0[/tex]

Men jeg fikk ikke det helt til å stemme. Kan du se hva jeg har gjort feil?

Hvis x=1 kan du ikke dele på [tex]\,\sqrt{x-1}\,[/tex]. Ellers tror jeg det stemmer.

Aha, takk skal du ha. Jeg synest det var litt rart at det ble imaginære tall i all røttene i linje 2 når jeg satte inn de riktige verdiene
Men då blir vel kanskje det jeg har gjort etter det feil og, eller har jeg bare mistet en løsning?

Hehe, tror jeg rotet litt isted. Skjønte ikke før no at hvis x=1 så blir roten av x-1 = 0 så derfor kan jeg selvfølgelig ikke dele med det
Men når x=0 så går det fint derfor fikk jeg den løsningen? Skulle gjerne sett hvordan man løser denne skikkelig.

En rask en:

[tex]\sqrt{x-1}(\sqrt{x-4}-\sqrt{x-9}) = x-1[/tex]

[tex](x-1)(\sqrt{x-4}-\sqrt{x-9})^2 = (x-1)^2[/tex]

[tex](x-1)[(\sqrt{x-4}-\sqrt{x-9})^2 - x + 1] = 0[/tex]

[tex](x-1)(x-4 - 2\sqrt{(x-4)(x-9)} + x - 9 - x + 1) = 0[/tex]

[tex](x-1)(x-12 - 2\sqrt{(x-4)(x-9)}) = 0[/tex]

Gir:

[tex]x = 1 \ \vee \ x-12-2\sqrt{(x-4)(x-9)} = 0[/tex]

[tex]x-12 = 2\sqrt{(x-4)(x-9)}[/tex]

[tex]x^2 - 24x + 144 = 4x^2 -52x + 144[/tex]

[tex]3x^2 - 28x = 0 \ \Rightarrow \ x(3x-28) = 0[/tex]

Gir:

[tex]x = 1 \ \vee \ x = 0 \ \vee \ x = \frac{28}{3}[/tex]

Test av løsninger gir at: [tex]x = \frac{28}{3}[/tex] er ugyldig løsning.

Altså er løsningene:

[tex]x = 1 \ \vee x = 0[/tex]

Ja, når x=0 går det fint, og derfor fikk du den løsningen. Men uansett er det liten vits i å dele vekk faktorer her. Faktoriser dem heller ut slik

[tex]\sqrt{x-1}\sqrt{x-4}-\sqrt{x-1}\sqrt{x-9}=x-1[/tex]

[tex]\sqrt{x-1}(\sqrt{x-4}-\sqrt{x-9})=\sqrt{(x-1)^2}[/tex]

[tex]\sqrt{x-1}(\sqrt{x-4}-\sqrt{x-9}-\sqrt{x-1})=0[/tex]

Et produkt er 0 hvis og bare hvis en av faktorene er det. Så istedenfor å dele, er det bedre å faktorisere så du ikke gjør slike feil. Når x=1 er den første faktoren 0, så x=1 er en løsning. De andre løsningene kommer når den andre faktoren er 0.

Husk dessuten at når du kvadrerer en ligning står du i fare for å ende opp med en løsning som ikke tilfredstiller den opprinnelige ligningen. Det er fordi både a og (-a) kvadrert gir a^2. Det er derfor du må sette prøve på svarene.

Svaret på oppgaven er x=0 og x=1.

EDIT: Så først nå at Zell hadde løst oppgaven på en fin, oversiktlig måte.

Her er enda en (glemt hvordan man får n-terottegn i tex):

[tex](60-x)^{\frac{1}{3}}+(x-11)^{\frac{1}{3}}=4^{\frac{1}{3}}[/tex]

Jeg skjønner, takk for tipsene.

n-terot er forresten \sqrt[n]{a}