Noen som har alternative løsninger på oppgave 1a)?
Oppgave: "Vis at det fins uendelig mange heltall som ikke kan skrives som differansen mellom to kvadrattall"
Jeg fant en måte å generere uendelig mange slike tall, men lurte på om man f.eks. kan bruke bevis ved motsigelse...
Abelfinalen 2009
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Eneste kvadatiske rester modulo 4 er 0 og 1. Derfor vil et hvilket som helst tall lik 2 (mod 4), altså tall på formen (4k+2), ikke kunne skrives som differansen mellom to kvadrattall.
(稻飞虱)
For en fri matematikk! The Declaration of Linear Independence
For en fri matematikk! The Declaration of Linear Independence
Ja, samme som jeg fant ut, men jeg lurte på om det fins andre metoderdaofeishi skrev:Eneste kvadatiske rester modulo 4 er 0 og 1. Derfor vil et hvilket som helst tall lik 2 (mod 4), altså tall på formen (4k+2), ikke kunne skrives som differansen mellom to kvadrattall.
Tja, jeg var sensor på den oppgaven så jeg har vel sett det meste som er å se.
Stort sett gikk det i daofeishi sin variant. Dvs. å skrive opp hva kvadrattall er modulo 4 og finne mulige summer og så se at 2 mod 4 ikke dekkes.
Den andre hyppige (og som også er i LF) er at hvis x = a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) må (a-b) og (a+b) være begge odde, eller begge like, og dermed dekkes ikke f.eks 2 mod 4, eller alle tall på formen 2*p der p er primtall større enn 2.
Noen hadde også noe litt mer ordrike bevis, men også her fant de fleste 2 mod 4.
Stort sett gikk det i daofeishi sin variant. Dvs. å skrive opp hva kvadrattall er modulo 4 og finne mulige summer og så se at 2 mod 4 ikke dekkes.
Den andre hyppige (og som også er i LF) er at hvis x = a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) må (a-b) og (a+b) være begge odde, eller begge like, og dermed dekkes ikke f.eks 2 mod 4, eller alle tall på formen 2*p der p er primtall større enn 2.
Noen hadde også noe litt mer ordrike bevis, men også her fant de fleste 2 mod 4.
Oppgaveteksten til 4b) er:
Hvis [tex]x=1-2^{-2009}[/tex], vis at [tex]x+x^2+x^4+...+x^{2^m}<2010[/tex] for alle heltall [tex]m[/tex].
I a) beviste vi at [tex](\frac{n+1}{n})^n > 2[/tex]. Det betyr at [tex](\frac{n}{n+1})^n< \frac{1}{2}[/tex].
Setter vi [tex]n=k-1[/tex] får vi at [tex](\frac{k-1}{k})^{k-1}< \frac{1}{2}[/tex].
Vi legger merke til at
[tex]x=1-2^{-2009} =\frac{2^{2009}-1}{2^{2009}} \\ \Rightarrow x^{2^{2009}} < x^{2^{2009}-1} =(\frac{2^{2009}-1}{2^{2009}})^{2^{2009}-1} < \frac{1}{2}[/tex].
Dermed er
[tex]x+x^2+x^4+...+x^{2^{2008}} +x^{2^{2009}}+...+x^{2^m} \\ <1+1^2+1^4+...+1^{2^{2008}}+(\frac{1}{2})^{2^0}+(\frac{1}{2})^{2^1}+(\frac{1}{2})^{2^2}+...+(\frac{1}{2})^{2^{m-2009}} \\ <2009+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+...+\frac{1}{2^{m-2009}} \\ <2009+1=2010[/tex].
Hvis [tex]x=1-2^{-2009}[/tex], vis at [tex]x+x^2+x^4+...+x^{2^m}<2010[/tex] for alle heltall [tex]m[/tex].
I a) beviste vi at [tex](\frac{n+1}{n})^n > 2[/tex]. Det betyr at [tex](\frac{n}{n+1})^n< \frac{1}{2}[/tex].
Setter vi [tex]n=k-1[/tex] får vi at [tex](\frac{k-1}{k})^{k-1}< \frac{1}{2}[/tex].
Vi legger merke til at
[tex]x=1-2^{-2009} =\frac{2^{2009}-1}{2^{2009}} \\ \Rightarrow x^{2^{2009}} < x^{2^{2009}-1} =(\frac{2^{2009}-1}{2^{2009}})^{2^{2009}-1} < \frac{1}{2}[/tex].
Dermed er
[tex]x+x^2+x^4+...+x^{2^{2008}} +x^{2^{2009}}+...+x^{2^m} \\ <1+1^2+1^4+...+1^{2^{2008}}+(\frac{1}{2})^{2^0}+(\frac{1}{2})^{2^1}+(\frac{1}{2})^{2^2}+...+(\frac{1}{2})^{2^{m-2009}} \\ <2009+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+...+\frac{1}{2^{m-2009}} \\ <2009+1=2010[/tex].