matematikk.net

Noen som har alternative løsninger på oppgave 1a)?


Oppgave: "Vis at det fins uendelig mange heltall som ikke kan skrives som differansen mellom to kvadrattall"

Jeg fant en måte å generere uendelig mange slike tall, men lurte på om man f.eks. kan bruke bevis ved motsigelse...

Eneste kvadatiske rester modulo 4 er 0 og 1. Derfor vil et hvilket som helst tall lik 2 (mod 4), altså tall på formen (4k+2), ikke kunne skrives som differansen mellom to kvadrattall.

daofeishi skrev:Eneste kvadatiske rester modulo 4 er 0 og 1. Derfor vil et hvilket som helst tall lik 2 (mod 4), altså tall på formen (4k+2), ikke kunne skrives som differansen mellom to kvadrattall.

Ja, samme som jeg fant ut, men jeg lurte på om det fins andre metoder

Tja, jeg var sensor på den oppgaven så jeg har vel sett det meste som er å se.

Stort sett gikk det i daofeishi sin variant. Dvs. å skrive opp hva kvadrattall er modulo 4 og finne mulige summer og så se at 2 mod 4 ikke dekkes.

Den andre hyppige (og som også er i LF) er at hvis x = a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) må (a-b) og (a+b) være begge odde, eller begge like, og dermed dekkes ikke f.eks 2 mod 4, eller alle tall på formen 2*p der p er primtall større enn 2.

Noen hadde også noe litt mer ordrike bevis, men også her fant de fleste 2 mod 4.

Ikke for å kapre tråden, men det hadde vært interessant å se en løsning på 4b). Da løsningene ble gjennomgått hang jeg ikke helt med på den, så om noen kunne hjelpe meg med den hadde jeg satt pris på det.

Oppgaveteksten til 4b) er:

Hvis [tex]x=1-2^{-2009}[/tex], vis at [tex]x+x^2+x^4+...+x^{2^m}<2010[/tex] for alle heltall [tex]m[/tex].


I a) beviste vi at [tex](\frac{n+1}{n})^n > 2[/tex]. Det betyr at [tex](\frac{n}{n+1})^n< \frac{1}{2}[/tex].
Setter vi [tex]n=k-1[/tex] får vi at [tex](\frac{k-1}{k})^{k-1}< \frac{1}{2}[/tex].

Vi legger merke til at

[tex]x=1-2^{-2009} =\frac{2^{2009}-1}{2^{2009}} \\ \Rightarrow x^{2^{2009}} < x^{2^{2009}-1} =(\frac{2^{2009}-1}{2^{2009}})^{2^{2009}-1} < \frac{1}{2}[/tex].

Dermed er
[tex]x+x^2+x^4+...+x^{2^{2008}} +x^{2^{2009}}+...+x^{2^m} \\ <1+1^2+1^4+...+1^{2^{2008}}+(\frac{1}{2})^{2^0}+(\frac{1}{2})^{2^1}+(\frac{1}{2})^{2^2}+...+(\frac{1}{2})^{2^{m-2009}} \\ <2009+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+...+\frac{1}{2^{m-2009}} \\ <2009+1=2010[/tex].

Oppgaven til deg Charlatan:
Vis at den samme ulikheten holder hvis vi bytter ut 2010 med 2009.