matematikk.net

La [tex]a_1, a_2 , . . . , a_n, b_1, b_2, . . . , b_n[/tex] være relle tall hvor [tex]a_1,a_2,...,a_n[/tex] er distinkte.

Vis at hvis produktet [tex](a_i+b_1)(a_i+b_2). . .(a_i+b_n)[/tex] har samme verdi for enhver [tex]i=1,2,...,n[/tex], så vil produktet [tex](a_1+b_j)(a_2+b_j)...(a_n+b_j)[/tex] også ha samme verdi for enhver [tex]j=1,2,...,n[/tex].

La [tex]k=\prod_{i=1}^n (a_1+b_i)=\prod_{i=1}^n (a_2+b_i)=\cdots=\prod_{i=1}^n (a_n+b_i)[/tex]
Definér polynomet [tex]P(x)=\prod_{i=1}^n (x+b_i)\,-k[/tex]
Da har vi at [tex]P(a_j)=0\,\, \forall j\in {1,2,...,n}[/tex]
Siden alle [tex]a_j[/tex] er distinkte har vi at[tex]P(x)=\prod_{i=1}^n(x-a_i)[/tex]
Da har vi at [tex]P(-b_j)=-k=(-1)^n\prod_{i=1}^n (b_j+a_i)\,\,\Rightarrow\,[/tex]
[tex]\prod_{i=1}^n (b_1+a_i)=\prod_{i=1}^n (b_2+a_i)=\cdots=\prod_{i=1}^n (b_n+a_i)=(-1)^{n+1}k[/tex]
Og vi har vist det oppgaven spurte etter.

Jepp
slik løste jeg den og