matematikk.net

Vis at

[tex]\frac{a}{b+2c+3d}+\frac{b}{c+2d+3a}+\frac{c}{d+2a+3b}+\frac{d}{a+2b+3c} \geq \frac{2}{3}[/tex]

Hvis [tex]a,b,c,d[/tex] er positive reelle tall.

Gjør et koordinatskifte for enklere nevnere, la A=b+2c+3d,...,D=a+2b+3c. Da er a=(-5A+7B+C+D)/24. Ulikheta er nå

[tex]\sum\frac{7B+C+D}A\ge36[/tex].

Siden A, B, C og D er positive, er [tex]\frac AB+\frac BA\ge2[/tex] og tilsvarende for de andre kombinasjonene. Dette gir

[tex]\sum\frac{7B+C+D}A\ge 6(\frac BA+\frac CB+\frac DC+\frac AD)+12\ge36[/tex]

der den siste ulikheta holder ved AM-GM i form av [tex]\frac BA+\frac CB+\frac DC+\frac AD\ge 4\sqrt[4]{\frac BA\cdot\frac CB\cdot\frac DC\cdot\frac AD}=4[/tex].

Av Cauchy-Schwarz har vi:
[tex]\left( \sum \frac{a}{b+2c+3d} \right)\left( \sum a(b+2c+3d) \right)\geq \left( \sum a \right)^2[/tex]
[tex]\sum a(b+2c+3d)= 4\sum ab[/tex]
[tex]\sum \frac{a}{b+2c+3d} \geq \frac{\left( \sum a \right)^2}{4\sum ab}=\frac{\sum a^2+2\sum ab}{4\sum ab}=\frac{\sum a^2}{4\sum ab}+\frac{1}{2}[/tex]
[tex]\sum (a-b)^2 \geq 0 \,\, \Leftrightarrow\,\,\frac{\sum a^2}{4\sum ab} \geq \frac{1}{6}[/tex]
Derfor har vi at
[tex]\sum \frac{a}{b+2c+3d} \geq \frac{2}{3}[/tex]