matematikk.net

La [tex]\alpha[/tex],[tex]\beta[/tex] og [tex]\gamma[/tex] være vinklene i en trekant. Vis at:
[tex]\cos \alpha\cos \beta+\cos \beta\cos \gamma+\cos \gamma \cos \alpha \leq \frac{3}{4}[/tex]

La [tex]a,b[/tex] og [tex]c[/tex] være sidene i trekanten. Da har vi ved cosinussetningen at

[tex]S:=\sum \cos \alpha \cos \beta = \sum \left( \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} \right) \left( \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac} \right) = \sum \frac{c^4-(a^2-b^2)^2}{4abc^2}.[/tex]


[tex]S= \sum \frac{c^4-(a^2-b^2)^2}{4c(abc)}=\frac{1}{4(abc)}\sum c^3-\frac{(a+b)^2(a-b)^2}{c} \leq \frac{1}{4(abc)} \sum c^3-(a+b)(a-b)^2= \frac{1}{4(abc)}\sum a^3-(a+b)(a-b)^2 \\ =\frac{1}{4(abc)}\sum a^3-(a^3+b^3+a^2b+ab^2-2ab(a+b))=\frac{1}{4(abc)}\sum a^2b +ab^2-a^3[/tex]

Hvis vi skal vise at [tex]S \leq \frac{3}{4}, [/tex] så kan vi vise at

[tex]\frac{1}{4(abc)}\sum a^2b +ab^2-a^3 \leq \frac{3}{4} \Leftrightarrow \sum a^2b+ab^2 \leq \sum (a^3) +3abc[/tex].

Hvis vi nå definerer [tex]x=a+b-c, y=a-b+c, z=-a+b+c[/tex], har vi at [tex]x,y,z >0[/tex], og

[tex]xyz-\sum ab^2+ab^2=-\sum (a^3)-2abc[/tex].

vi legger til på begge sider av ulikheten:

[tex](xyz-\sum ab^2+ab^2) + \sum a^2b+ab^2 \leq (-\sum (a^3)-2abc)+\sum (a^3) +3abc \Leftrightarrow xyz \leq abc[/tex], eller [tex]xyz \leq \left(\frac{x+y}{2} \right)\left(\frac{y+z}{2} \right)\left(\frac{z+y}{2} \right)[/tex] \som følger av AM-GM når vi bruker det på hver av faktorene på høyre side. Vi kan ha likhet hvis og bare hvis [tex]x=y=z \Rightarrow a=b=c \Rightarrow \alpha = \beta = \gamma = 60^\circ[/tex], og vi ser at det stemmer.

Eventuelt kan vi bruke schurs-ulikhet:

http://en.wikipedia.org/wiki/Schur's_inequality

[tex]\sum a^2b+b^2a \leq a^3+abc \Leftrightarrow \sum a(a-b)(a-c) \geq 0 [/tex] som er schurs ulikhet for [tex]t=1[/tex]