matematikk.net

Finn alle løsningene til utrykket, og ja her må man tenke litt utenfor boksen siden alle stykkene her har "rimelig lette løsninger"
Hint vil bli gitt om det trengs. Ingen tipping eller kalkulator er nødvendi om man er stø i trigonometri, geometri og trekanter.

Lett

[tex]x^3 + 6*x^2 + 12*x - 56 = 0 [/tex]

Middels

[tex] x^4+x^3+x^2+x+1 = 0 [/tex]

Utfordring

[tex]5\,\sqrt {1-x}+5\,\sqrt {1+x}\,=\,6\,x+8\,\sqrt {1-{x}^{2}}[/tex]

Kan begynne med den lette..

Latt [tex]f(x)=x^3+6x^2+12x-56[/tex]

Legger merke til at f(2)=0, da er følgelig x-2 en faktor i polynomet.

Utfører polynomdivisjon og får :

[tex](x-2)\cdot (x^2+8x+28)=0[/tex]

[tex]x^2+8x+28=0 \Rightarrow x=\frac{-8\pm\sqrt{64-4\cdot 28}}{2}[/tex]

[tex]x=-4\pm \frac{sqrt{48}i}{2}[/tex]

[tex]x=-4\pm 2sqrt{3}[/tex]

[tex]x_1=2 \ x_2=-4+2sqrt{3}i \ x_3=-4-2sqrt{3}i[/tex]

Ble litt tull...

Med litt trigonometrisk substitusjon på den siste finner man at 24/25 er en løsning.

Middels:

[tex]x^4+x^3+x^2+x+1=0[/tex]

Summering av rekker gir oss at

[tex]x^4+x^3+x^2+x+1=\frac{1-x^5}{1-x}=0[/tex]

Dermed er alle løsningene på denne de samme løsningene som til [tex]x^5=1[/tex] bortsett fra x=1.

Altså: [tex]x=e^{i\frac{2\pi}{5}k}, k=1,...,4[/tex]

Middels med en litt morsom metode:

deler ligningen med [tex]x^2[/tex]

bruker substitusjon, setter.

[tex]u=x+\frac{1}x[/tex]

legger også merke til at;

[tex]u^2=x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}[/tex]

Innsatt i ligning gir dette:

[tex]u^2+u-1=0[/tex]

[tex]u=\frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}[/tex]

substituerer vi tilbake, får vi en ny andregradsligning:

[tex]x+ \frac{1}{x} = \frac {-1 \pm \sqrt{5}}{2}[/tex]
[tex]x^2 + \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}x + 1 =0 [/tex]

som igjen løses og (etter litt forenkling) gir 4 løsninger;

[tex] x= \frac{ -1 + \sqrt{5} + \sqrt{5 + 2\sqrt{5}}}{4}[/tex]
[tex] x= \frac{ -1 + \sqrt{5} - \sqrt{5 + 2\sqrt{5}}}{4}[/tex]
[tex] x= \frac{ -1 - \sqrt{5} + \sqrt{5 - 2\sqrt{5}}}{4}[/tex]
[tex] x= \frac{ -1 - \sqrt{5} - \sqrt{5 - 2\sqrt{5}}}{4}[/tex]

phew, litt tex-trening kommer godt med