Kay - 24/08-2018 skrev:
Oppfølger:
[tex]\int_0^\infty \frac{\arctan (x)\log(1+x^2)}{1+x^2}dx[/tex]
Denne har stått uløst en stund, men etter å ha pratet med Markus litt tror jeg at den gikk opp. Ønsker å vise at
$ \hspace{1cm} \int_0^\infty \frac{\arctan (x)}{x} \frac{\log(1+x^2)}{1+x^2}\,\mathrm{d}x = \frac{\pi}{2} \log^2(2) $
Vi begynner med å definere funksjonen
$ \hspace{1cm}
f(a,b) = \frac{\arctan (ax) }{x} \frac{\log(1+bx^2)}{1+x^2}
$
der vi ser via inspeksjon at $f(0,b) = 0$ for alle $b$ og $f(a,0) = 0$ for alle $a$.Videre så er
$ \hspace{1cm}
\begin{align*}
\frac{\partial}{\partial a}f(a,b) & = \frac{\log(1 + b x^2)}{(1 + x^2) (1 + a^2 x^2)} \\
\frac{\partial^2}{\partial a \partial b} f(a,b) &= \frac{x^2}{(1 + x^2) (1 + a^2 x^2) (1 + b^2 x^2)}
\end{align*}
$
Slik at
$ \hspace{1cm}
\begin{align*}
\frac{\arctan (x) }{x} \frac{\log(1+x^2)}{1+x^2}
& = f(1,1) - f(1,0) \\
& = \frac{\partial}{\partial a} \int_0^1 f(a,1) - f(a, 0) \,\mathrm{d}a \\
& = \frac{\partial}{\partial a} \int_0^1 \frac{\partial}{\partial b} \Bigl[ \int_0^1 f(a,b) \, \mathrm{d}b \Bigr] \,\mathrm{d}a \\
& = \int_0^1 \int_0^1 \frac{\partial^2}{\partial a \partial b} f(a,b) \, \mathrm{d}a \mathrm{d}b = \iint_D \frac{x^2}{(1 + x^2) (1 + a^2 x^2) (1 + b^2 x^2)} \, \mathrm{d}(a,b)
\end{align*}
$
Hvor $D = [0, 1] \times [0, 1]$, merk at $\iint_{D}$ her bare er en mer kompakt måte å skrive $\int_0^1 \int_0^1$ på.
Den andre overgangen følger fra at analysens fundamentalsetning brukt baklengs: $\frac{\partial}{\partial x} \int_c^x f(t)\,\mathrm{d}t = f(t)$.
For å rettferdigjøre den nest siste overgangen kan en bruke Fubinis sats gjentatte ganger siden integralet er positivt på $D$. Det siste itnegralet er mye enklere å integrere med hensyn på X, og vi kan igjen bruke Fubinis sats.
$ \hspace{1cm}
\begin{align*}
\int_0^\infty \frac{\arctan (x)}{x} \frac{\log(1+x^2)}{1+x^2}\,\mathrm{d}x
& = \int_0^\infty \Bigl( \iint_D \frac{x^2}{(1 + x^2) (1 + a^2 x^2) (1 + b x^2)} \, \mathrm{d}(a,b) \Bigr) \, \mathrm{d}x \\
& = \iint_D \Bigl( \int_0^\infty \frac{x^2}{(1 + x^2) (1 + a^2 x^2) (1 + b x^2)} \, \mathrm{d}x \Bigr) \, \mathrm{d}(a,b) \\
& =\frac{\pi}{2} \iint_D \frac{\mathrm{d}(a,b)}{(1+a)(\sqrt{b} + 1)(a + \sqrt{b})} \\
& = \frac{\pi}{2} \log^2(2)
\end{align*}
$
Å løse de tre siste integralene er bare NM i delbrøksoppspaling. F.eks så er
$
\frac{x^2}{(1 + x^2) (1 + a^2 x^2) (1 + b x^2)}
= \frac{1}{(a^2 - 1) (-1 + b^2) } \frac{1}{1 + x^2} + \frac{a^2}{(a^2 - 1) (a^2 - b^2)} \frac{1}{1 + a^2 x^2}+ \frac{b^2}{(b^2 - 1) (-a^2 + b^2)} \frac{1}{1 + b^2 x^2}
$
Også videre ikke at jeg gidder å vise de mellomregningene :p