Nebuchadnezzar skrev:
[tex]\int_0^{\infty}{\frac{dx}{x^{2n+1}+1}}[/tex]
=================
satt på en "dx" jeg Nebu...
Janhaa
La [tex]n\in\mathbb{N}[/tex] (Integralet konvergerer ikke for n=0 så vi må ha at n>0). La [tex]z(t)=te^{i\frac{2\pi}{2n+1}}[/tex] være en linje i det komplekse plan parametrisert ved parameteren [tex]t\in (0,R)[/tex] for en radius [tex]R[/tex]. Konstruer konturen [tex]C[/tex] av linjestykket langs den reelle aksen fra origo til R, et segment av sirkelen med radius R, samt den parametriserte linjen over (i motsatt retning). Det er klart at funksjonen [tex]f(z)=\frac{1}{z^{2n+1}+1}[/tex] har enkle poler i punktene [tex]z=e^{\frac{\pi}{2n+1}i+\frac{2\pi k}{2n+1}i}[/tex], og det er kun ett som ligger innenfor konturen C, i punktet [tex]z=e^{\frac{\pi}{2n+1}i}[/tex].
Konturintegralet blir
[tex]\oint_C \frac{1}{z^{2n+1}+1}\,dz=\int_0^R \frac{1}{x^{2n+1}+1}\,dx+\int_{R}^0 \frac{e^{i\frac{2\pi}{2n+1}}}{t^{2n+1}+1}\,dt+\int_\Gamma \frac{1}{z^{2n+1}+1}\,dz[/tex] der [tex]\Gamma[/tex] er sirkelsegmentet i retning mot klokka. Det siste leddet går mot 0 når [tex]R \to\infty [/tex] av ML-ulikheten siden [tex]|\frac{1}{z^{2n+1}+1}|\leq \frac{1}{|z|^{2n+1}-1}=\frac{1}{R^{2n+1}-1}=M[/tex] og [tex]L=\frac{1}{2n+1}2\pi R[/tex]: [tex]ML=\frac{\frac{1}{2n+1}\pi R}{R^{2n+1}-1}\to 0[/tex] når [tex]R\to\infty[/tex]
Residue-integrasjonen gir altså at
[tex](1-e^{\frac{2\pi i}{2n+1}})\int_0^\infty \frac{1}{x^{2n+1}+1}\,dx=2\pi i Res (f(z),z=e^{\frac{\pi}{2n+1}i})[/tex]
[tex]Res (f(z),z=e^{\frac{\pi}{2n+1}i})=\lim_{z\to e^{\frac{\pi i}{2n+1}}}\frac{z-e^{\frac{\pi i}{2n+1}}}{z^{2n+1}+1}=\frac{e^{-\frac{2n\pi i}{2n+1}}}{2n+1}[/tex]
Derfor er
[tex]\int_0^\infty \frac{1}{x^{2n+1}+1}\,dx= \frac{2\pi i}{2n+1} \frac{e^{-\frac{2n\pi i}{2n+1}}}{1-e^{\frac{2\pi i}{2n+1}}}[/tex]
Dette resultatet kan forhåpentligvis skrives penere ved bruk av gammafunksjonen. Kanskje noen gidder å vise at
[tex]\frac{2\pi i}{2n+1} \frac{e^{-\frac{2n\pi i}{2n+1}}}{1-e^{\frac{2\pi i}{2n+1}}}=\Gamma (\frac{2n+2}{2n+1})\Gamma (\frac{2n}{2n+1})[/tex] for positive heltall n.