Integral maraton !

Her kan brukere av forum utfordre hverandre med morsomme oppgaver og nøtter man ønsker å dele med andre. Dette er altså ikke et sted for desperate skrik om hjelp, de kan man poste i de andre forumene, men et sted for problemløsing på tvers av trinn og fag.

Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

drgz
Fermat
Fermat
Innlegg: 757
Registrert: 24/12-2008 23:22

FredrikM skrev:Jeg klarer ikke helt å se hva du sikter til her.

Legg merke til [tex]\frac 12[/tex]-faktoren her:
[tex]I_{10}=\frac 12 2\pi i (a+b)[/tex]

(husk at singularitetene vi må ha med, er begge på øvre halvplan)
Jeg som er på bærtur med forklaringen min, så tar den på min kappe. Men jeg står fortsatt på mitt om at du mangler en faktor en halv i sluttsvaret ;)

Svaret ditt representerer 2*pi*i * sum Res(f(z)), men det må igjen ganges med en halv pga grensene i intergralet :)
FredrikM
Poincare
Poincare
Innlegg: 1367
Registrert: 28/08-2007 20:39
Sted: Oslo
Kontakt:

Du har helt rett.

(svaret mitt lignet nok på WolframAlpha sitt svar til at jeg trodde jeg hadde fått det riktige , WolframAlpha)
Cube - mathematical prethoughts | @MatematikkFakta
Med forbehold om tullete feil. (både her og ellers)
Nebuchadnezzar
Fibonacci
Fibonacci
Innlegg: 5648
Registrert: 24/05-2009 14:16
Sted: NTNU

Da prøver vi oss på en artig en
Regn ut arealet som er avgrenset av x aksen og funksjonen [tex]f(x)=cos(ln(x)) \, \, \, \, x \in [0\,,\,2\pi][/tex]
"Å vite hva man ikke vet er og en slags allvitenhet" - Piet Hein
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
zell
Guru
Guru
Innlegg: 1777
Registrert: 09/02-2007 15:46
Sted: Trondheim

[tex]u = \ln{x} \ \Rightarrow \ e^{u}\rm{d}u = \rm{d}x[/tex]

[tex]I = \int e^{u}\cos{u}\rm{d}u[/tex]

[tex]I = e^{u}\cos{u} + \int e^{u}\sin{u}\rm{d}[/tex]

[tex]I = e^{u}\cos{u} + e^{u}\sin{u} - \int e^{u}\cos{u}\rm{d}u[/tex]

Siste integral = I, får 2I på venstre side av likhetstegn, gir:

[tex]I = \frac{1}{2}x\large\left(\cos{(\ln{x})} + \sin{(\ln{x})}\large\right) + C[/tex]
Charlatan
Guru
Guru
Innlegg: 2499
Registrert: 25/02-2007 17:19

Man skulle vel finne arealet av den funksjonen over x-aksen.
zell
Guru
Guru
Innlegg: 1777
Registrert: 09/02-2007 15:46
Sted: Trondheim

Ja, der sier du noe. :P
Nebuchadnezzar
Fibonacci
Fibonacci
Innlegg: 5648
Registrert: 24/05-2009 14:16
Sted: NTNU

Men du er jo ganske nærme ;)
"Å vite hva man ikke vet er og en slags allvitenhet" - Piet Hein
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
zell
Guru
Guru
Innlegg: 1777
Registrert: 09/02-2007 15:46
Sted: Trondheim

Da skal det vel bli:

[tex]I = \frac{1}{2}\large\left[x(\cos{(\ln{x})}+\sin{(\ln{x})})\large\right]_{e^{-\frac{\pi}{2}}}^{e^{\frac{\pi}{2}}} = \cosh{\frac{\pi}{2}} \approx 2.51[/tex]
Vektormannen
Euler
Euler
Innlegg: 5889
Registrert: 26/09-2007 19:35
Sted: Trondheim
Kontakt:

Det er jo uendelig mange avgrensede flater over og under x-aksen når du nærmer deg x = 0...
Elektronikk @ NTNU | nesizer
Charlatan
Guru
Guru
Innlegg: 2499
Registrert: 25/02-2007 17:19

Vektormannen skrev:Det er jo uendelig mange avgrensede flater over og under x-aksen når du nærmer deg x = 0...
Stemmer det, men summen av del-integralene konvergerer.
Charlatan
Guru
Guru
Innlegg: 2499
Registrert: 25/02-2007 17:19

Nebuchadnezzar skrev:Da prøver vi oss på en artig en
Regn ut arealet som er avgrenset av x aksen og funksjonen [tex]f(x)=cos(ln(x)) \, \, \, \, x \in [0\,,\,2\pi][/tex]
Vi vil integrere over det området [tex]f(x)[/tex] er større enn 0, dvs der [tex]\cos(\ln(x)) \geq 0 \Leftrightarrow 2\pi n - \frac{\pi}{2} \leq \ln(x) \leq 2\pi n + \frac{\pi}{2} \Leftrightarrow e^{2\pi n - \frac{\pi}{2}} \leq x \leq e^{2\pi n + \frac{\pi}{2}}[/tex]

for ethvert heltall n.

Nå er [tex]e^{\frac{\pi}{2}}< 2\pi[/tex], og [tex]e^{2\pi-\frac{\pi}{2}}> 2\pi[/tex], så vi må finne

[tex]\sum_{n=-\infty}^0 \int^{ e^{2\pi n + \frac{\pi}{2}}}_{ e^{2\pi n - \frac{\pi}{2}}} \cos(\ln(x)) dx = \sum_{n=0}^{\infty} \int^{ {-2\pi n + \frac{\pi}{2}}}_{{-2\pi n - \frac{\pi}{2}}} e^u\cos(u) du =\sum_{n=0}^{\infty}[\frac{e^{u}}{2}(\cos(u) + \sin(u))]^{-2\pi n + \frac{\pi}{2}}_{-2\pi n - \frac{\pi}{2}} =\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}(e^{-2\pi})^n(e^{\frac{\pi}{2}}+e^{-\frac{\pi}{2}})=\frac{e^{\frac{\pi}{2}}+e^{-\frac{\pi}{2}}}{2(1-e^{-2\pi})}[/tex]

der det ubestemte integralet allerede er regnet ut av zell.
Nebuchadnezzar
Fibonacci
Fibonacci
Innlegg: 5648
Registrert: 24/05-2009 14:16
Sted: NTNU

Helt riktig Charlatan, og du kan legge ut det neste integralet.

Et kort spørsmål, kanskje bare meg som ikke helt ser det, hvordan regnet du ut den siste summen ?
"Å vite hva man ikke vet er og en slags allvitenhet" - Piet Hein
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
Charlatan
Guru
Guru
Innlegg: 2499
Registrert: 25/02-2007 17:19

Nebuchadnezzar skrev:Helt riktig Charlatan, og du kan legge ut det neste integralet.

Et kort spørsmål, kanskje bare meg som ikke helt ser det, hvordan regnet du ut den siste summen ?
Den siste summen er ei geometrisk rekke, så jeg brukte bare formelen for det. Jeg skal snarest finne et nytt integral.
krje1980
Leibniz
Leibniz
Innlegg: 964
Registrert: 04/04-2009 20:55

Nebuchadnezzar skrev:Helt riktig Charlatan, og du kan legge ut det neste integralet.

Et kort spørsmål, kanskje bare meg som ikke helt ser det, hvordan regnet du ut den siste summen ?
Nå har ikke jeg fulgt så mye med i oppgaven, men den siste summe er vel bare en geometrisk rekke? Får derfor (1/2)*(a/1-x) (hvor a er det første leddet, og x er faktoren i den geometriske rekken).
krje1980
Leibniz
Leibniz
Innlegg: 964
Registrert: 04/04-2009 20:55

Charlatan kom visst meg så vidt i forkjøpet :)
Svar