Integral maraton !

Her kan brukere av forum utfordre hverandre med morsomme oppgaver og nøtter man ønsker å dele med andre. Dette er altså ikke et sted for desperate skrik om hjelp, de kan man poste i de andre forumene, men et sted for problemløsing på tvers av trinn og fag.

Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Kay
Abel
Abel
Innlegg: 684
Registrert: 13/06-2016 19:23
Sted: Gløshaugen

Markus skrev:Noen som har prøvd å løse det siste integralet uten residyregning? Jeg kommer ikke så langt med det etter å ha prøvd litt div. reelle teknikker.

Kommer ikke spesielt langt heller, ikke engang ved hjelp av spesielle funksjoner, det er et mareritt uten kompleks analyse.
Janhaa
Boltzmann
Boltzmann
Innlegg: 8552
Registrert: 21/08-2006 03:46
Sted: Grenland

Kay skrev:
Markus skrev:Noen som har prøvd å løse det siste integralet uten residyregning? Jeg kommer ikke så langt med det etter å ha prøvd litt div. reelle teknikker.
Kommer ikke spesielt langt heller, ikke engang ved hjelp av spesielle funksjoner, det er et mareritt uten kompleks analyse.
Er på bobil-ferie og i ferie -modus.
Dette er tankene:
men aldeles ikke løst d uten complex analysis.
Først kan x+2 => x slik at 3 integral poppes ut:

[tex]I=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x\sin(x)}{(x+2)^2+1}dx=I_1+I_2+I_3[/tex]
der
[tex]I_1=2\sin(2)\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\cos(x)}{x^2+1}dx\\ \\ I_2=\cos(2)\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x\sin(x)}{x^2+1}dx\\ \\ I_3=\sin(2)\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x\cos(x)}{x^2+1}dx+ 2\cos(2)\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\sin(x)}{x^2+1}dx\\[/tex]

der I3 = 0, kan forstås via x => -x

I1 kan skrives:

[tex]I_1(a)=2\sin(2)\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\cos(ax)}{x^2+1}dx\\ \\[/tex]

og løses ved Feynmann method mhp a.

For I2 kan vi gjøre det sammen, skrive dette som DE (diff lik.)

[tex]I(b)=2\sin(2)\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\cos(ax)e^{bx}}{x^2+1}dx\\ \\[/tex]

finne I'(b) og I''(b) og bygge opp en DE. Det vi kan dra ut verdien fra ønska integral...
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.

[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Markus
Fermat
Fermat
Innlegg: 767
Registrert: 20/09-2016 13:48
Sted: NTNU

Tror nok det der skal gå frem Janhaa - smart å splitte det via $\sin(u-v)$-formelen. Får se litt mer på den når jeg kommer hjem selv fra ferie. Er nok dog ment som et integral som skal løses med residy-regning, vil jeg tro.

Inntil videre, må vi vel ha et nytt integral, som for øvrig er en del av det løsningsforslaget du foreslår Janhaa. Et av de peneste integralene etter min mening; $$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\cos(x)}{x^2+1} \, \text{d}x$$
Kay
Abel
Abel
Innlegg: 684
Registrert: 13/06-2016 19:23
Sted: Gløshaugen

Markus skrev:Tror nok det der skal gå frem Janhaa - smart å splitte det via $\sin(u-v)$-formelen. Får se litt mer på den når jeg kommer hjem selv fra ferie. Er nok dog ment som et integral som skal løses med residy-regning, vil jeg tro.

Inntil videre, må vi vel ha et nytt integral, som for øvrig er en del av det løsningsforslaget du foreslår Janhaa. Et av de peneste integralene etter min mening; $$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\cos(x)}{x^2+1} \, \text{d}x$$
Observer at funksjonen kun har en enkel singularitet ved [tex]x=i[/tex]

[tex]\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\cos(x)}{x^2+1}dx=\Re\left ( \int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{ix}}{x^2+1} \right )=\Re\left ( \int_\gamma \frac{e^{ix}}{x^2+1^2} \right )=\Re\left ( 2\pi i Res\left ( \frac{e^{ix}}{x^2+1},i \right )\ \right )=\Re\left ( 2\pi i \lim_{x\rightarrow i}\frac{e^{ix}}{x^2+i} \right )=\frac{\pi}{e}[/tex]


Oppfølger:

[tex]\int_0^\infty \frac{\arctan (x)\log(1+x^2)}{x(1+x^2)}dx[/tex]

(Kunne noen forresten har forklart meg hvordan jeg får dx med en sånn rett d? Når jeg bruker \textup så får jeg bare sånn rød errorskrift).

Edit: Mangla en x i oppfølgeren.
stensrud
Descartes
Descartes
Innlegg: 438
Registrert: 08/11-2014 21:13
Sted: Cambridge

Kay skrev: Kunne noen forresten har forklart meg hvordan jeg får dx med en sånn rett d? Når jeg bruker \textup så får jeg bare sånn rød errorskrift.
Nå er jeg ingen TeX-guru, men det finnes et par måter å få det til på: \rm{d} eller \mathrm{d} funker ihvertfall. Forresten så har de fleste artiklene jeg har lest brukt $d$ og ikke $\rm{d}$ (Terrence Tao for eksempel, som må være et skikkelig autoritetsargument?), så det er vel ikke så nøye - jeg mistenker at det er noe fysikerne og ingeniørene bryr seg mer om. Det viktigste er nok spacingen, og her er jeg heller ingen ekspert, men \mathop{dx} (eventuelt \mathop{\rm{d}x}) skaper litt pusterom.

Du kan også trykke på knappen for å sitere andres innlegg for å se hvordan de har skrevet TeX-koden.
Markus
Fermat
Fermat
Innlegg: 767
Registrert: 20/09-2016 13:48
Sted: NTNU

Pent Kay! Kan også løses med derivasjon under integraltegnet eller Laplace, men din metode eller Laplace er nok den mest effektive. Angående differensialnotasjon bruker jeg selv \, \text{d}x. \, skaper et lite mellomrom. Men har også sett en del bruk av \mathrm. Men, kursiv eller ikke-kursiv, ingen av alternativene er vel mer korrekt enn den andre?
Mattebruker

Dei fleste brukarane av dette forumet har no lagt bak seg sommarferien , og då kan det passe med litt " hjernejogg " for å

lette overgangen til kvadagen.

Dagens " tema " dreiar seg om trippelintegral ( SSS indikerer eit integral med tre variable ).


Oppgave: Berekn integralet SSS( x * y * z ) dxdydz over kroppen K = pyramide med toppunkt T(0 , 0 , 1 ) og grunnflate

{ (x , y , 0 ) : 0 <= x <= 1 og 0 <= y <= 1 }
Nebuchadnezzar
Fibonacci
Fibonacci
Innlegg: 5648
Registrert: 24/05-2009 14:16
Sted: NTNU

Er det noe jeg mangler eller er det siste integralet så enkelt som

$ \hspace{1cm} \displaystyle
V
= \int_0^1 \int_0^{1-x} \int_0^{1-x-y} xyz \,\mathrm{d}z\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x
= \frac{1}{6!}
$

? Mellomregningene er bare kjedelig utvidelse av polynomer... Om regningen ovenfor er riktig så slenger jeg på en litt morsom en, håper ingen har sett den før

$ \hspace{1cm} \displaystyle
\lim_{\theta\to\pi/2}\int_{-\theta}^\theta\lfloor\tan x\rfloor\> \,\mathrm{d}x
$
"Å vite hva man ikke vet er og en slags allvitenhet" - Piet Hein
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
Mattebruker

[tex]\int \int \int[/tex]( x y z ) dxdydz over K = [tex]\frac{1}{120}[/tex]
Mattebruker

[tex]\int \int \int[/tex]( x y z ) dxdydz over K = [tex]\frac{1}{120}[/tex]
MatIsa
Dirichlet
Dirichlet
Innlegg: 150
Registrert: 12/06-2013 12:09
Sted: Trondheim

Nebuchadnezzar skrev:Er det noe jeg mangler eller er det siste integralet så enkelt som

$ \hspace{1cm} \displaystyle
V
= \int_0^1 \int_0^{1-x} \int_0^{1-x-y} xyz \,\mathrm{d}z\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x
= \frac{1}{6!}
$
Løste den på samme måte selv, men tror det blir feil. Her er vel integrasjonsområdet en pyramide med en trekantet grunnflate ($\{(x, y, 0): 0\leq x\leq 1\text{ og } 0\leq y\leq 1-x\}$) istedenfor en kvadratisk grunnflate?
Kay skrev:Oppfølger:

[tex]\int_0^\infty \frac{\arctan (x)\log(1+x^2)}{x(1+x^2)}dx[/tex]
Tar gjerne et hint på denne, har prøvd mer eller mindre alt :?
Kay
Abel
Abel
Innlegg: 684
Registrert: 13/06-2016 19:23
Sted: Gløshaugen

MatIsa skrev:
Kay skrev:Oppfølger:

[tex]\int_0^\infty \frac{\arctan (x)\log(1+x^2)}{x(1+x^2)}dx[/tex]
Tar gjerne et hint på denne, har prøvd mer eller mindre alt :?

Hint:
[+] Skjult tekst
derivasjon under integraltegnet
Markus
Fermat
Fermat
Innlegg: 767
Registrert: 20/09-2016 13:48
Sted: NTNU

Siden denne tråden mer eller mindre døde helt ut etter det forrige integral kjører jeg på med en litt lettere for å få liv i tråden igjen. Evaluer $\int \frac{1}{e^x+1} \, \text{d}x$
Aleks855
Rasch
Rasch
Innlegg: 6855
Registrert: 19/03-2011 15:19
Sted: Trondheim
Kontakt:

Markus skrev:Siden denne tråden mer eller mindre døde helt ut etter det forrige integral kjører jeg på med en litt lettere for å få liv i tråden igjen. Evaluer $\int \frac{1}{e^x+1} \, \text{d}x$
Kun elementære løsninger for min del. I tillegg fint med litt oppfrisking.

Lar vi $u = e^x$ og medfølgende $\mathrm dx = \frac1u \mathrm du$ får vi $$\int \frac1{u(u+1)} \mathrm du \overbrace =^{\text{delbrøkoppspalting}} \int \frac{1}{u} - \frac{1}{u+1} \mathrm du = \int \frac{1}{u} \mathrm du - \int \frac{1}{u+1} \mathrm du = \log(u) - \log(u+1) + C = \log \left( \frac{e^x}{e^x+1} \right) + C$$

Oppfølger: $\int \sec x \mathrm dx$ hvis den ikke allerede har blitt løst. Er litt fan av den siden den også kan løses med grunnleggende integrasjon og litt kreativitet.
Bilde
Kay
Abel
Abel
Innlegg: 684
Registrert: 13/06-2016 19:23
Sted: Gløshaugen

Aleks855 skrev:
Markus skrev:Siden denne tråden mer eller mindre døde helt ut etter det forrige integral kjører jeg på med en litt lettere for å få liv i tråden igjen. Evaluer $\int \frac{1}{e^x+1} \, \text{d}x$
Kun elementære løsninger for min del. I tillegg fint med litt oppfrisking.

Lar vi $u = e^x$ og medfølgende $\mathrm dx = \frac1u \mathrm du$ får vi $$\int \frac1{u(u+1)} \mathrm du \overbrace =^{\text{delbrøkoppspalting}} \int \frac{1}{u} - \frac{1}{u+1} \mathrm du = \int \frac{1}{u} \mathrm du - \int \frac{1}{u+1} \mathrm du = \log(u) - \log(u+1) + C = \log \left( \frac{e^x}{e^x+1} \right) + C$$

Oppfølger: $\int \sec x \mathrm dx$ hvis den ikke allerede har blitt løst. Er litt fan av den siden den også kan løses med grunnleggende integrasjon og litt kreativitet.

I og med at du ønsker løsning vha. grunnleggende integrasjon (regner alt innen R2 pensum som grunnleggende):

[tex]\int \sec(x)dx=\int\frac{1}{\cos(x)}dx=\int \frac{\cos(x)}{\cos^2(x)}dx= \int\frac{\cos(x)}{1-\sin^2(x)}dx=\int\frac{\cos(x)}{(1+\sin(x))(1-\sin(x))}dx[/tex]

La [tex]u=\sin(x)\Rightarrow \frac{du}{dx}=\cos(x)\Rightarrow du=\cos(x)dx[/tex]

[tex]\int sec(x)dx=\int_{sub} \frac{du}{(1+u)(1-u)}=\frac{1}{2}\int \left (\frac{1}{1+u}+\frac{1}{1-u} \right )du=\frac{1}{2}(\ln|1+u|-\ln|1+u|)=\frac{1}{2}\ln \frac{|1+u|}{|1-u|}=\frac{1}{2}\ln\frac{|1+\sin(x)|}{|1-\sin(x)|}+C[/tex]

Oppfølger: [tex]\int \frac{1}{\sqrt{1-\frac{2}{x}}}dx[/tex]
Svar