matematikk.net

Løs
[tex]2^{n^2} - 2^n = 5[/tex]
algebraisk.

Jeg trodde denne var lett og enkel, men sannelig ser det ut til at denne tok knekken på nattesøvnen min gitt. Aner ikke hvilket forum dette går inn i, så det kjøres inn her.

Mener du [tex]2^{(n^2)}[/tex] eller [tex](2^n)^2[/tex]? Om du (mot formodning) mente andre alternativ, kan du sette [tex]u=2^n[/tex] og løse den som en andegradslikning.

Antar du mener [tex]2^{n^2}[/tex].

Finn logaritmen til begge sider og samle alle ledd på venstre side.

[tex]n^2ln(2)-nln(2)-ln(5)=0[/tex]

Denne kan løses som enhver andregradslikning.

[tex]n=\frac{1}{2}\pm\frac{sqrt{(ln(2))^2+4ln(2)ln(5)}}{2ln(2)}[/tex]

bartleif skrev:Antar du mener [tex]2^{n^2}[/tex].

Finn logaritmen til begge sider og samle alle ledd på venstre side.

[tex]n^2ln(2)-nln(2)-ln(5)=0[/tex]

Denne kan løses som enhver andregradslikning.

[tex]n=\frac{1}{2}\pm\frac{sqrt{(ln(2))^2+4ln(2)ln(5)}}{2ln(2)}[/tex]

Dette er dessverre ikke riktig.

Det er nok ikke helt lov å gjøre det sånn. Du kan ikke bare ta logaritmen til hvert ledd.

Har du løyst den sjølv Lore?

The equations appear to involve the variables to be solved for in an \
essentially non-algebraic way.

Tror ikke du får løst denne algebraisk nei

Om det ikke er [tex](2^n)^2[/tex] det er snakk om kan du nok si noe om at eventuelle løsninger må ligge i et visst intervall (deriver venstresiden og vis at den er voksende for store nok x), men noe eksakt uttrykk vet jeg ikke hvordan man skal kunne finne. Om det da ikke er snakk om heltallsløsninger, selvfølgelig - da er den jo triviell.

Har ingen eksakt løsning, men ved å bruke Newton's metode har jeg iallefall funnet at [tex]x\approx-1. 5547[/tex] og [tex]x\approx1. 7505[/tex] er løsninger. Men dette strider vel imot å løse det algebraisk

thmo skrev:Har du løyst den sjølv Lore?

Beklager mitt frafall fra denne tråden:
Det første som er et must er å vise at den er monotont voksende ved å dobbeltderivere den og se at det ikke eksisterer noen n slik at den dobbeltderiverte er negativ.

Ettersom den er deriverbar, er den kontinuerlig. Om du tar n = 1, som gir f(1) = 0, og f(2) = 12, så har du bevist at det eksisterer en løsning som gir n = 5.

Og der sitter jeg bom fast gitt. Hørte med noen professorer, og de babla om noen uendelige rekker som kan gi et eksakt svar, men det var ikke noe jeg fikk helt med meg.

Og ja, jeg snakker om [tex]2^{(n^2)}-2^n = 5[/tex], ikke [tex](2^n)^2 -2^n = 5[/tex]. Hvis ikke hadde det bare vært barnemat :p

Men da blir det vel ikkje ein algebraisk løysning?

thmo skrev:Men da blir det vel ikkje ein algebraisk løysning?

Newtons metode med en god initialbetingelse definerer vel på en måte en uendelig følge som konvergerer mot en løsning på ligninga?