matematikk.net

For en gitt [tex]n[/tex], hvor mange n-sifrede tall finnes det i tretallssystemet slik at antallet sifre som er lik 1 er et partall?

(Sifrene kan altså være lik 0, 1 eller 2, og selv om det 'største' sifferet er null går dette helt fint. For n=2 er altså de mulige sifrene 00, 20, 02, 11, og 22.)

Skal 22 også være en mulighet for n=2-tilfellet? Isåfall tror jeg svaret skal bli

[tex]S_n=\sum_{j=0}^{\lfloor \frac n2 \rfloor}{ {n \choose 2j} \cdot 2^{n-2j}}[/tex]

Beklager, ja, dette var selvfølgelig sløvhet fra min side. Summen du har kommet fram til er selvfølgelig helt riktig, men lar det seg gjøre å få den på lukket form også?

Ved å putte inn noen smarte tall i binomialformelen, får man

[tex]\sum_{j=0}^n {n \choose j} \cdot 2^{n-j}=3^n[/tex]

og

[tex]\sum_{j=0}^n {n \choose j} \cdot (-1)^j 2^{n-j}=1[/tex].

Ved litt addisjon/subtraksjon og halvering får vi da

[tex]S_n=\sum_{j=0}^{\lfloor \frac n2 \rfloor}{ {n \choose 2j} \cdot 2^{n-2j}}=\frac{3^n+1}{2}[/tex].

Du har kanskje en raskere måte å telle dette på?

Det blir vel tallene som er delelig med 2. Modulo 2 er
[tex]N = a_0+3a_1+...+a_{n-1}3^{n-1} \equiv a_0+...+a_{n-1}[/tex]
som er 0 hvis og bare hvis N har et partallig antall 1'ere.

Hvis vi tillater 0 som første siffer er det [tex]3^n[/tex] tall, hvorav [tex]\frac{3^n+1}{2}[/tex] er partallige.

Jeg hadde ikke sett den andre, forøvrig fine, løsningen før, men begge er selvfølgelig helt riktige.