matematikk.net

Dette er en litt annen variant av en lignende en. Finn feilen.

[tex]-1=\sqrt[3]{-1}=(-1)^{\frac{1}{3}}=(-1)^{\frac{2}{6}}=\left((-1)^2\right)^{\frac{1}{6}}=1^{\frac{1}{6}}=1[/tex]

Problemet her er at regnereglene med eksponenttriksing kun blir gyldige om vi tenker på dette som multifunksjoner, og da er det jo ikke noe problem, for det 'paradoksale' her er da at [tex]-1= 1^{\frac 1 6} = 1[/tex], og multifunksjonen [tex]z \rightarrow z^{\frac 1 6}[/tex] tar jo (blant annet) verdiene 1 og -1 når z=1.

[symbol:rot] (-1) er feilen man kan ikke sette minus

Omid skrev:[symbol:rot] (-1) er feilen man kan ikke sette minus

Forklar gjerne hva du mener.

FredrikM skrev:Dette er en litt annen variant av en lignende en. Finn feilen.

[tex]-1=\sqrt[3]{-1}[/tex]

Allerede her er det jo feil. [tex]\exp(i\pi)\neq\exp\left(i\frac{\pi}{3}\right)[/tex]. At man påstår at [tex]\exp\left(i\frac{\pi}{3}\right)=\exp\left(i\frac{2\pi}{3}\right)[/tex] er like teit.

Men artig liten sak.

Over det reelle domenet betrakter man vanligvis [tex](-1)^{\frac{1}{2n+1}}[/tex] som den reelle roten, dvs -1. F.eks er det vanlig å anse [tex]f(x) = \sqrt[3]{x}[/tex] som en reell funksjon hvis ingen annen kontekst er nevnt..

Charlatan skrev:Over det reelle domenet betrakter man vanligvis [tex](-1)^{\frac{1}{2n+1}}[/tex] som den reelle roten, dvs -1.[/tex] F.eks er det vanlig å anse [tex]f(x) = \sqrt[3]{x}[/tex] som en reell funksjon hvis ingen annen kontekst er nevnt..

Det står ingen steder at det er over det reelle demenet man skal betrakte uttrykket. Hva som er "vanlig" kommer an på hvem du spør.... f.eks er det vanlig for meg å uttrykke roten av et negativt uttrykk som en kompleks funksjon, og tydeligvis motsatt for deg.

Blir det samme som å finne feilen her:

[tex]-1 = (-1)^{\frac{1}{1}} = (-1)^{\frac{2}{2}} = \left((-1)^{2}\right)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{1} = 1[/tex]

Feilen ligger i parentesene: [tex]\left((-1)^{2}\right)^{\frac{1}{2}}[/tex]
eller med 1/6 i stedet for 1/2 i ditt eksempel.

claudeShannon skrev:

FredrikM skrev:Dette er en litt annen variant av en lignende en. Finn feilen.

[tex]-1=\sqrt[3]{-1}[/tex]

Allerede her er det jo feil.

Vel, [tex](-1)^3=-1[/tex].

claudeShannon skrev:

Charlatan skrev:Over det reelle domenet betrakter man vanligvis [tex](-1)^{\frac{1}{2n+1}}[/tex] som den reelle roten, dvs -1.[/tex] F.eks er det vanlig å anse [tex]f(x) = \sqrt[3]{x}[/tex] som en reell funksjon hvis ingen annen kontekst er nevnt..

Det står ingen steder at det er over det reelle demenet man skal betrakte uttrykket. Hva som er "vanlig" kommer an på hvem du spør.... f.eks er det vanlig for meg å uttrykke roten av et negativt uttrykk som en kompleks funksjon, og tydeligvis motsatt for deg.

Her står det jo strengt tatt heller ikke at man ikke arbeider over kvaternionene, i hvilket tilfelle man har et uendelig antall tredjerøtter av -1. Uansett, uten hentydning til hvilket valg av gren er det ikke like klart hva som menes med [tex]\sqrt[3]{-1}[/tex] hvis det ikke skal være -1. Det er jo ikke så viktig, men jeg antar trådstarter mente -1.

FredrikM skrev:
Vel, [tex](-1)^3=-1[/tex].

Det har jeg aldri sagt noe på. Men det du påstår er jo nå at [tex]\exp(i3\pi)=\exp(i\pi/3)[/tex], noe som ikke stemmer.

Charlatan skrev: Her står det jo strengt tatt heller ikke at man ikke arbeider over kvaternionene, i hvilket tilfelle man har et uendelig antall tredjerøtter av -1.

Det er sant. Men uansett hvilken av tredjerøttene man bruker, så vil det fortsatt ikke stemme.

Charlatan skrev:Uansett, uten hentydning til hvilket valg av gren er det ikke like klart hva som menes med [tex]\sqrt[3]{-1}[/tex] hvis det ikke skal være -1. Det er jo ikke så viktig, men jeg antar trådstarter mente -1.

Joa, er enig her. Jeg ville bare påpeke at slik det står formulert nå så kan man finne feil på flere måter.