matematikk.net

Tenkte jeg også kunne komme med en litt geometrisk/funskjonaktig oppgave

Aller kjenner til midtnormalen; alle punkter som ligger like langt fra A og B. Dette er selvsagt en linje med funksjon [tex]y=\left(\frac{x_A-x_B}{y_B-y_A}\right)x + \frac{({x_B}^2+{y_B}^2)-({x_A}^2+{y_A}^2)}{2(y_B-y_A)}[/tex].

Men hva med alle punkter(M) som ligger like langt fra P og en linje [tex]y=mx+b[/tex]?(Det vil si at korteste lengde mellom y og et punkt M = lengden MP)

Finn funskjonen som beskriver mengden disse punktene(M) tilhører.

Burde kanskje gjøre den litt enklere, og la [tex]y=b[/tex] som på tegningen.

En anne måte å se på oppgaven er at funksjonen vi leter etter legger over for seg alle punkter som er nærmere P, og under seg alle punkter som er nærmere et punkt på linja [tex]y=b[/tex].

Vet det blir noe slikt som

at linja er[tex] \frac{1}{2n}x^2[/tex] der n er avstanden mellom punktet og linja, så blir det å bevise dette da. Og ble fort komplisert når linja kunne være skrå :p

Skulle være mulig med en parameterfremstilling da...

Nebuchadnezzar skrev:Vet det blir noe slikt som

at linja er \frac{1}{n}x^2 der n er avstanden mellom punktet og linja, så blir det å bevise dette da. Og ble fort komplisert når linja kunne være skrå :p

Neida, man kan rotere planet ved et koordinatskifte, bruke formelen og rotere tilbake. Man vil da ende opp med en parabel generelt på formen y = ax^2 +bx +c ved å bruke det du har funnet ut for den horisontale linja.

Kurven beskrives hvis jeg ikke har bommet på noe, av ligningen [tex]y = mx + b + \sqrt{(P_x - x)^2 + (P_y - y)^2} \cdot \sqrt{m^2+1}[/tex]. Det er vel ganske sjelden y vil være en funksjon av x, og jeg har ikke så lyst å prøve å isolere en av variablene her :p

Edit: dette kan vel også løses ved teknikker fra lineær algebra hvor man roterer planet med vinkelen [tex]\arctan m[/tex] og finner parabelligningen.