matematikk.net

Regn ut grenseverdien

[tex]\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos(ax)^2}{1-\cos(bx)}[/tex]

Nebuchadnezzar skrev:Regn ut grenseverdien

[tex]\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos(ax)^2}{1-\cos(bx)}[/tex]

Faktoriserer telleren og bruker l'hopital:

[tex]\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos(ax)^2}{1-\cos(bx)} = 2\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos(ax)}{1-\cos(bx)} = 2\lim_{x \to 0} \frac{a\sin(ax)}{b\sin(bx)} = \frac{2a^2}{b^2}\lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin(ax)}{ax}}{\frac{\sin(bx)}{bx}} = \frac{2a^2}{b^2}[/tex]

Helt riktig, men er juks å bruke L`hopital, burde kanskje spesifisert dette mer =)

Beklager.

Okey, her er en alternativ løsning:

[tex]\frac{1-\cos(ax)^2}{1-\cos(bx)} = (1+\cos(bx))\frac{1-\cos(ax)^2}{1-\cos(bx)^2} = \frac{2a^2}{b^2}(1+\cos(bx))\left( \frac{\frac{\sin(ax)}{ax}}{\frac{\sin(bx)}{bx}} \right)^2[/tex]

At [tex]\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1[/tex] kan vi se av taylorutvidelsen til [tex]\sin(x)[/tex]:

[tex]\frac{\sin(x)}{x} = 1-x^2/3!+x^4/5! -...[/tex], så grenseverdien når x går mot 0 blir 1 (siden det er snakk om en absolutt konvergent rekke kan vi trekke grenseverditegnet innenfor "summetegnet").

Hvis vi tar grensen av det sistnevnte uttrykket over ser vi at svaret blir det samme.

Hvordan definerer du sin(x) da Charlatan?

Godt spørsmål, hvis vi tar utgangspunkt i den geometriske definisjonen av sin(x) vil jo taylorutvidelsen avhenge av at sin(x)/x --> 1. For analytiske formål synes jeg at potensrekken er en mer effektiv definisjon for sin(x), så jeg burde kanskje ha sagt "av definisjonen" istedet for "av taylorutvidelsen". Men med utgangspunkt i det har man jo ikke øyeblikkelig de geometriske egenskapene til sinus. Man må i så fall vise at de to definisjonene samstemmer som krever et geometrisk bevis for at sin(x)/x --> 1.