Side 1 av 1
Ulikhet
Lagt inn: 25/12-2011 02:50
av Gustav
Ja, da er julen endelig ferdig og vi kan se frem mot nye matematiske utfordringer.
La n og m være naturlige tall. Vis at dersom m>n, så er
[tex](1+\frac{1}{m})^m>(1+\frac{1}{n})^n[/tex]
Lagt inn: 25/12-2011 10:34
av drgz
Sikkert ikke den mest komplette måten å vise det på:
Hvis man ser på binomialrekken til begge uttrykkene så trenger man bare å ta for seg det tredje leddet (k = 2, dette leddet er dominerende) i hver av rekkene og sammenligne:
(1): m*(m-1)*(1/m)^2/2! = (1-1/m)/2!
og
(2): n*(n-1)*(1/n)^2/2! = (1-1/n)/2!
Her ser man lett at for m > n så trekker man i fra en mindre andel av 1/k! i (1) enn i (2). Dette mønsteret gjentar seg også for k > 2 i binomialrekken, dermed sitter man igjen med en større sum i binomialrekken for (1+1/m)^m enn for (1+1/n)^n, og (1+1/m)^m må derfor være større enn (1+1/n)^n.