matematikk.net

Bevis at [tex](cosx)^n \leq cos(nx)[/tex] for [tex]x \in [0, \ \frac{\pi}{2}][/tex] og [tex]n \in (0, \ 1)[/tex]

Jeg får ikke denne til, men jeg deler den likevel. Dette er litt over mitt hode foreløpig, men har lovt meg selv å jobbe litt med reell analyse.

EDIT: Helt på jordet...

Har du bommet med n og p i definisjonen, dvs skal det stå [tex]n\in(0,1)[/tex]?

Dette kan ikke stemme for stemme for alle n og x hvis n er et vilkårlig heltall. For n=2 og [tex]x\in[\pi/4,\pi/2][/tex] vil uttrykket på høyre side være negativt, mens uttrykket på venstre side vil være positivt.

Bomma ja. Skulle stå [tex]n \in (0, \ 1)[/tex]

Men siden det intervallet står, så er det ikke snakk om alle n. Bare mellom 0 og 1. Og det tror jeg skal la seg gjøre å bevise.

Da er vi enige.

Det vil vel være nok å vise at

[tex]f_n(x) = \cos(nx) - ( \cos x )^n[/tex]

er en stigende funksjon siden

[tex]f_n(0) = 0[/tex].

Per Spelemann skrev:Det vil vel være nok å vise at

[tex]f_n(x) = \cos(nx) - ( \cos x )^n[/tex]

er en stigende funksjon siden

[tex]f_n(0) = 0[/tex].

Hmm...

Så hvis [tex]f(x) = cos(nx)-cos^nx[/tex]

Så blir [tex]f^{\tiny\prime}(x) = -nsin(nx) + ncos^{n-1}x \cdot sinx[/tex]

(Med forbehold om slurvefeil i hode-derivasjon. Tenker bare kjerneregel.)

Så [tex]f^{\tiny\prime}(x) = n(-sin(nx) + \frac{sinx}{cos^{1-n}x}) \ > \ 0[/tex]

Og siden sinus er en økende funksjon på intervallet [tex][0, \ \frac{\pi}{2}][/tex], og [tex]cos^{1-n}x \in (0, \ 1)[/tex] så kan vi konkludere at [tex]f(x) \geq 0[/tex] på intervallet, som er ekvivalent med ulikheten i oppgaven.



Har jeg slurva eller oversett noe?

Det ser riktig ut.

Litt pirk: Det skal stå pluss foran:

[tex]\frac{ \sin x }{ \cos^{1-n}x } [/tex]

Aiai, liten typo der. Ganske sikker på at jeg TENKTE +