matematikk.net

Bestem alle mulige verdier av [tex]x+\frac{1}{x}[/tex] der [tex]x[/tex] er et reelt tall som tilfredsstiller ligningen

[tex]x^4+5x^3-4x^2+5x+1 = 0[/tex]

, og løs ligningen.

[tex]x^4 + 5x^3 - 4x^2 + 5x + 1 = (x^2 - x + 1)(x^2 + 6x + 1) = x^2 (x - 1 + \frac{1}{x})(x + 6 + \frac{1}{x}) = 0[/tex]

Siden [tex] x \neq 0[/tex], må [tex]x + \frac{1}{x} = 1[/tex] eller [tex]x + \frac{1}{x} = -6[/tex].

Løsningene finner man ved å bruke andregradsformelen på de to andregradspolynomene.

Hvordan fant du den faktoriseringen?

Selv tenkte jeg:

[tex]p(x) = x^4 + 5x^3 - 4x^2 + 5x + 1[/tex]
[tex]q(x) = \frac{1}{x^2} \cdot p(x) = x^2 + 5x - 4 + 5\frac{1}{x} +\frac{1}{x^2}[/tex]
[tex]q(x) = x^2 +2 +\frac{1}{x^2} + 5x + 5\frac{1}{x}- 6[/tex]
[tex]q(x) = (x + \frac{1}{x})^2 + 5(x + \frac{1}{x}) - 6[/tex]

Fibonacci92:

Jeg personlig bruker denne tilnærmingen:

[tex]x^4 + 5x^3 - 4x^2 + 5x + 1 = (x^2+ax+1)(x^2+bx+1)[/tex]

Der jeg løser ligningsettet

[tex]a + b = 5[/tex] og [tex]2 + ab = -4[/tex]

Alle variantene er selvsagt riktige. Oppgaven var for øvrig rappet fra Georg Mohr (dansk svar på abelkonkurransen) 2.runde i 2000.