matematikk.net

Jeg får ikke til Plutarco's tallteori-nøtt på stående fot, så jeg slenger inn en annen, litt lettere.

Finn ved regning det siste sifferet i [tex]77777^{77777}[/tex]

[tex]77777 \equiv 7 \bmod 10[/tex]

[tex]77777^{77777} \equiv 7^7 \bmod 10[/tex]

[tex]49 \cdot 49 \cdot 49 \cdot 7 \equiv 9 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 7 \equiv 81 \cdot 63 \equiv 1 \cdot 3 \equiv 3 \bmod 10[/tex]

Personlig er jeg usikker på om det andre leddet mitt er korrekt.

Det ser korrekt ut.

Er nok ikke korrekt. Wolfram alpha sier at [tex]77777^{77777} \equiv 7 \pmod {10}[/tex].

Steget som ikke er riktig er det andre, som du selv mistenkte. Det er ingen kongruensregel som sier at dersom [tex]a \equiv b \pmod {n}[/tex], så er [tex]m^a \equiv m^b \pmod {n}[/tex].

Se for eksempel på [tex]1 \equiv 6 \pmod{5}[/tex], men [tex]2^6 = 64 \equiv 4 \not\equiv 2 = 2^1 \pmod {5}[/tex]

Hoksalon skrev:[tex]77777 \equiv 7 \bmod 10[/tex]

[tex]77777^{77777} \equiv 7^7 \bmod 10[/tex]

[tex]49 \cdot 49 \cdot 49 \cdot 7 \equiv 9 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 7 \equiv 81 \cdot 63 \equiv 1 \cdot 3 \equiv 3 \bmod 10[/tex]

Personlig er jeg usikker på om det andre leddet mitt er korrekt.

Du har kanskje feiltolka potensregelen for kongruens. Det er kun grunntallet du kan forkorte på den måten, ikke eksponenten.

En luring er å fortsette med [tex]7^{77777} = (7^7)^{11111}[/tex]

Ja, det gjør det litt annerledes:

Etter litt strev, vet vi at
[tex]77777 = [/tex]

1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024,2048,4096,8092,16184,32368, 64736

77777 = 64736 + 8192 + 2048 + 1024 + 512 + 256 + 128 + 64 + 16 + 1

Vi har altså at:
[tex]7^{77777} = 7^{64736} \cdot 7^{8192} \cdot 7^{2048} \cdot 7^{1024} \cdot 7^{512} \cdot 7^{128} \cdot 7^{64} \cdot 7^{16} \cdot 7^{1}[/tex]

[tex]7^1 \equiv 7 \bmod 10[/tex]
[tex]7^{16} \equiv 1 \bmod 10[/tex]
[tex]7^{32} \equiv 1 \bmod 10 [/tex]
...
...
[tex]7^{64736} \equiv 1 \bmod 10[/tex]

Når alle disse faktorene multipliseres sammen, får vi selvfølgelig at resten blir 7.

Oppfølger: Finn nest siste siffer

Det ser riktig ut, men kanskje litt tungvint.
[tex]77777^{77777}\equiv 7^{77777} mod 10[/tex]

Siden 7 i n'te kun kan ta et endelig antall verdier mod 10 må det var en gjentakende sekvens.
[tex]7^1 \equiv 7 [/tex]
[tex]7^2 \equiv 9[/tex]
[tex]7^3 \equiv 3[/tex]
[tex]7^4 \equiv 1[/tex]

Det vil si at [tex]7^n\equiv 7^{n mod 4} mod 10[/tex]

Siden 77777 har rest 1 ved divisjon på 4 er siste siffer 7.

Ok, siden vi har oppfølger så slenger jeg like gjerne inn egen løsning på den jeg spytta.

[tex]77777^{77777} \\ \equiv (7^7)^{11111} \\ \equiv 3^{11111} \\ \equiv 3^{4\cdot2777+3} \\ \equiv 3^{4\cdot2777}\cdot3^3 \\ \equiv (3^4)^{2777}\cdot 3^3 \\ \equiv 1^{2777} \cdot 3^3 \\ \equiv 1\cdot 7 \\ \equiv 7 (mod 10)[/tex]

Tok med alle steg i mellomregninga nå, men det får bare være.