Reel analyse: Frullani integral

[Nebuchadnezzar]

La [tex]f[/tex] være en deriverbar kontinuerlig funksjon definert på [tex](0,\infty)[/tex]. Grenseverdien

[tex]\lim_{x \to \infty} f(x) = \ell[/tex],

eksisterer, og [tex]\ell[/tex] selvsagt er et positivt reelt tall. Vis at

[tex]\int_0^\infty \frac{f(ax)-f(bx)}{x}\,\mathrm{d}x = \left( f(0) - \ell \right) \log \left( \frac{a}{b} \right)[/tex]

Hvor [tex]a,b \in (0,\infty)[/tex] og trenger ikke være like.

[svinepels]

[tex]\int_0^\infty \frac{f(ax) - f(bx)}{x} \, \text{d}x = \int_0^\infty \frac{f(xt)}{x} |_{t=b}^{t=a} \, \text{d}x = \int_0^\infty \int_b^a f^{\prime}(xt) \, \text{d}t \, \text{d}x = \int_b^a \int_0^\infty f^{\prime}(xt) \, \text{d}x \, \text{d}t[/tex]
[tex]\int_b^a \frac{f(xt)}{t} |_{x=0}^{x=\infty} \, \text{d}t = \int_b^a \frac{\ell - f(0)}{t} \, \text{d}t = (\ell - f(0))(\ln a - \ln b)[/tex]

me likey

[Gustav]

Fin oppgave, nebu!