matematikk.net

Inspirert av Janhaas oppgave, beregn

[tex]\sum_{m=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{m^2n}{3^m(n3^m+m3^n)}[/tex]

PS: Det fins en veldig elegant løsning på denne.

plutarco skrev:Inspirert av Janhaas oppgave, beregn

[tex]\sum_{m=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{m^2n}{3^m(n3^m+m3^n)}[/tex]

PS: Det fins en veldig elegant løsning på denne.

Jeg prøver meg på en gjettning som sikkert kan bevises (hvis det stemmer), hjelper et stykke på vei:

Siden m og n løper over de samme verdiene, har vi lov til å byytte om på rollene til m og n i summen:

La [tex] \sum_{m=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{m^2n}{3^m(n3^m+m3^n)} = \sum_{m=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2m}{3^n(m3^n+n3^m)} [/tex]


Dermed er [tex]\sum_{m=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{m^2n}{3^m(n3^m+m3^n)} = \frac{1}{2}* ( \sum_{m=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{m^2n}{3^m(n3^m+m3^n)} + \sum_{m=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2m}{3^n(m3^n+n3^m)} )[/tex]

[tex] = \frac{1}{2} * ( \sum_{m=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty} ( \frac{(m^2n)* 3^{-m}}{(n3^m+m3^n)} + \frac{(n^2m)* 3^{-n}}{(n3^m+m3^n)}) [/tex]

[tex] = \frac{1}{2} * ( \sum_{m=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{m*n}{3^{m+n}})) [/tex]

Det ble litt penere, men mistenker at du vil frem til et konkret tall?


Edit: Psst.. Er 9/32 rett svar?

Jepp, ser bra ut dette