Nok en ulikhet

[Brahmagupta]

Vis at

[tex](a^2+b^2)^2\geq (a+b+c)(a+b-c)(c+a-b)(b+c-a)[/tex]

for alle positive reelle tall a,b,c. Kan det være likhet evt. når?

[Gustav]

Viser at ulikheten er ekvivalent med noe åpenbart.

Ganger ut parentesene og hele ulikheten med 2, og får

$4a^4+2c^4+ 4b^4- 4a^2c^2-4b^2c^2\geq 0$, altså

$(2a^2)^2+(c^2)^2-4a^2c^2 + (2b^2)^2+(c^2)^2-4b^2c^2\geq 0$.

$(2a^2-c^2)^2+(2b^2-c^2)^2\geq 0$, som er åpenbart riktig siden det er en sum av kvadrater.

Det er likhet eksakt når $2a^2=c^2=2b^2$, altså når $\sqrt{2}a=c=\sqrt{2}b$

[mrcreosote]

En geometrisk løsning på den første:

Dersom 1 av de siste 3 faktorene på høyresida er negativ (det kan ikke være mer enn 1 negativ faktor) holder ulikheta opplagt. Vi sitter da igjen med tilfellene hvor alle faktorene er positive som betyr at a, b og c er sidene i en trekant. La [tex]\gamma[/tex] være vinkelen mellom a og b.

Vi kan regne ut areal av en trekant på flere måter, for eksempel med Herons formel og ved [tex]\frac12ab\sin\gamma[/tex]. Ulikheta kan derfor skrives [tex](a^2+b^2)^2\ge 16T^2[/tex] eller [tex]a^2+b^2\ge 4T=2ab\sin\gamma[/tex] som holder siden [tex]a^2+b^2\ge2ab\ge2ab\sin\gamma[/tex] fordi [tex]|\sin\gamma|\le1[/tex]. Likhet får vi når a=b og [tex]\sin\gamma=1[/tex] som tilsvarer en likebeint rettvinkla trekant med c som hypotenus.

[Brahmagupta]

Det var slik jeg også løste den, ganske elegant løsning!