Vis at for alle [tex]a,b,c \in \mathbb{R}[/tex] gjelder følgende ulikhet
[tex]ab+bc+ac+max\{|a-b|,|b-c|,|c-a|\}\leq 1 + \frac13(a+b+c)^2[/tex]
Ulikhet
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
mattemonsteret
- Pytagoras
- Innlegg: 10
- Registrert: 04/06-2013 13:26
Hint 1: Vi kan anta (uten tap av generalitet) at [tex]a \leq b \leq c[/tex]. Da blir max-leddet lik [tex]c-a[/tex].
Hint 2: Hvis jeg ikke har tenkt feil, så gjelder ulikheten med likhet hvis og bare hvis de tre tallene danner en aritmetisk følge med differanse 1.
Hint 2: Hvis jeg ikke har tenkt feil, så gjelder ulikheten med likhet hvis og bare hvis de tre tallene danner en aritmetisk følge med differanse 1.
Bruker hintet og får ulikheten
$3ab+3bc+3ac+3c-3a\leq 3+(a+b+c)^2$
som er det samme som
$0\leq 2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac-6c+6a+6$
og
$0\leq (c-b-1)^2 + (b-a-1)^2 + (c-a-2)^2$
med likhet hvis og bare hvis a,b,c er en aritmetisk følge med differanse 1.
$3ab+3bc+3ac+3c-3a\leq 3+(a+b+c)^2$
som er det samme som
$0\leq 2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac-6c+6a+6$
og
$0\leq (c-b-1)^2 + (b-a-1)^2 + (c-a-2)^2$
med likhet hvis og bare hvis a,b,c er en aritmetisk følge med differanse 1.
Prøvde først å faktorisere uttrykket for å få det på en form som forhåpentligvis ville være ikkenegativ, men kom ikke frem til noe vettugt der. Gikk fort over til nest enkleste mulighet, nemlig å omskrive til en sum av ikkenegative ledd, altså sum av kvadrater. Fra hint 2 om aritmetiske følger med differanse 1 var det egentlig veldig lett å tippe på det riktige, som jeg til slutt verifiserte ved å faktisk skrive ut kvadratene.jhoe06 skrev:Flott løsning, plutarco. Men av nysgjerrighet, hvordan kom du frem til det siste uttrykket?
EDIT: jeg har forsåvidt en mistanke om at det fins mer elegante måter å løse problemet på. Kanskje via en smart substitusjon.. Kjenner hjernen er i sommermodus og ikke så skjerpet, men kanskje andre har bedre løsninger på lager..