matematikk.net

Dette er nok en oppgave som hører hjemme på vgs-nivå. Men alle kan evt prøve seg etterhvert;

Gitt to funksjoner [tex]\,\,f(x)=x^2\,\,\wedge\,\,g(x)=x^2-2x.[/tex]
Finn tangenten som er felles for begge funksjonene.

Janhaa skrev:Dette er nok en oppgave som hører hjemme på vgs-nivå. Men alle kan evt prøve seg etterhvert;

Gitt to funksjoner [tex]\,\,f(x)=x^2\,\,\wedge\,\,g(x)=x^2-2x.[/tex]
Finn tangenten som er felles for begge funksjonene.

Mener du punktene på f og g hvor stigningstallene er like?

Determined skrev:

Janhaa skrev:Dette er nok en oppgave som hører hjemme på vgs-nivå. Men alle kan evt prøve seg etterhvert;

Gitt to funksjoner [tex]\,\,f(x)=x^2\,\,\wedge\,\,g(x)=x^2-2x.[/tex]
Finn tangenten som er felles for begge funksjonene.

Mener du punktene på f og g hvor stigningstallene er like?

Nei, da finnes det jo uendelig mange.

Men det finnes en tangent på f som også faller som tangent på g.

Jeg ser for meg at man er ute etter denne tangenten: http://i.imgur.com/CoSjNJj.png

Aleks855 skrev:

Determined skrev:

Janhaa skrev:Dette er nok en oppgave som hører hjemme på vgs-nivå. Men alle kan evt prøve seg etterhvert;

Gitt to funksjoner [tex]\,\,f(x)=x^2\,\,\wedge\,\,g(x)=x^2-2x.[/tex]
Finn tangenten som er felles for begge funksjonene.

Mener du punktene på f og g hvor stigningstallene er like?

Nei, da finnes det jo uendelig mange.

Men det finnes en tangent på f som også faller som tangent på g.

Jeg ser for meg at man er ute etter denne tangenten: http://i.imgur.com/CoSjNJj.png

Hm, ja!

Da var det oppklart.

Hvordan var det man kom fram til det ved regning?

Tangenten vi er ute etter er linjen [tex]y = -x -\frac{1}{4}[/tex].

Måten jeg kom fram til dette på var å starte med å finne [tex]f'(x) = 2x[/tex]. Da er tangenten til [tex]f[/tex] i et gitt punkt [tex]x_0[/tex] lik [tex]y = 2x_0(x-x_0) + x_0^2 = x_0(2x-x_0)[/tex]. For at dette også skal være en tangent til [tex]g[/tex] vil vi at linjen krysser [tex]g[/tex] i nøyaktig ett punkt, dvs. at [tex]x_0(2x-x_0) = x^2 -2x \iff x^2 -(2+2x_0)x + x_0^2 = 0[/tex] har nøyaktig èn løsning. Dette er tilfelle når [tex](2+2x_0)^2 -4x_0^2 = 0[/tex] (diskriminanten). Løser vi den siste ligningen mhp. [tex]x_0[/tex] får vi at [tex]x_0 = -\frac{1}{2}[/tex] og den oppgitte tangenten følger.

Dette er vel kanskje ikke en metode som garantert vil gi rett svar generelt, men jeg er for trøtt til å tenke mer på det nå.

Måten jeg tenkte på var slik:

Tangentene til f og g må jo ha samme stigningstall. Slik at $f'(a) = g'(b)$ for en eller annen a og b. Noe som fører til at om a er x-koordinaten for f, så er b = a + 1 det for g.

Ligningen for den aktuelle tangenen til f er $y-a^2 = s(x-a)$, der s er stigningstallet. Ligningen for tangenten til g er $y - (b^2-2b)=s(x-b)$. Siden disse tangentene skal være like, og b = a + 1, finner man litt s (ved å sette "y = y") til å være -1.

Det eneste punktet $f'(x)=2x$ er -1, er $x=-\frac{1}{2}$. Tilsvarende punkt for g er $x=\frac{1}{2}$.

Setter man disse punktene, samt stigningstallet på -1, inn i ligningene for tangentene, finner man ut at en felles tangent er $y=-x-\frac{1}{4}$.

Dette var kanskje en tungvinn måte...?

ser rett ut for meg dette folkens, trur jg gjorde på sammen måte som determined