Her er en løsning til den andre som ikke benytter integralregning.
Setter først [tex]S(n) = \sum_{i=1}^n{\frac1{\sqrt{i}}}[/tex]
Tanken er å finne en øvre og nedre grense for summen og deretter bruke Sandwich teoremet for å finne grensen.
http://en.wikipedia.org/wiki/Squeeze_theorem
Viser først ulikheten [tex]2(\sqrt{i+1}-\sqrt{i})\leq\frac1{\sqrt{i}}\leq 2(\sqrt{i}-\sqrt{i-1})[/tex]
Tar kun den ene ulikheten siden andre vises helt på samme måte. Vi har at
[tex]\sqrt{i+1}-\sqrt{i}=\frac{(\sqrt{i+1}-\sqrt{i})(\sqrt{i+1}+\sqrt{i}}{\sqrt{i+1}+\sqrt{i}}=\frac1{\sqrt{i+1}+\sqrt{i}}\leq\frac1{2\sqrt{i}}[/tex]
og ulikhteten følger ved å gange med 2 på begge sider.
Videre ved å summere ulikheten for [tex]i=1,2,3,...,n[/tex] og deretter dele på [tex]n[/tex] får vi at
[tex]2\frac{(\sqrt{n+1}-1)}{n}\leq\frac{S(n)}{n}\leq2\frac{\sqrt{n}}{n}[/tex]
Tar man så grenseverdien får man at
[tex]0\leq\frac{S(n)}{n}\leq0[/tex]
så grenseverdien må være 0.
Hvis summen i stedet hadde vært [tex]\frac1{\sqrt{n}}\sum_{i=1}^n{\frac1{\sqrt{i}}}[/tex] ,
som jeg mistenker det skulle være, så ville grenseverdien blitt 2.