Potenser av (1 + 13^0.5 )/2

[Nebuchadnezzar]

Vis at

$ \displaystyle
\left( \frac{1 + \sqrt{13} }{2}\right)^n \, = \, a_n + b_n \sqrt{13}
$

holder for $\forall \: n \in \mathbf{N}$.

Bestem og helst formeler for $a_n$ og $b_n$

[Determined]

Er det slik å forstå at du mener $a_n,b_n \in Q$?

[Nebuchadnezzar]

Jau

[Determined]

For $n=1$ har vi:

$\frac{1+\sqrt{13}}{2} = \frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{13}$

Noe som gjør at vi lett kan finne konstanter $a_1,b_1 \in Q$.

Vi antar så at likheten holder for $n=k$. Da blir:

$(\frac{1+\sqrt{13}}{2})^{k+1} = (\frac{1+\sqrt{13}}{2})^k(\frac{1+\sqrt{13}}{2}) = (a_k+b_k\sqrt{13})(\frac{1+\sqrt{13}}{2}) = (\frac{1+\sqrt{13}}{2})a_k +(\frac{1+\sqrt{13}}{2})b_k\sqrt{13} = (\frac{1}{2}a_k+\frac{13}{2}b_k)+(\frac{1}{2}a_k+\frac{1}{2}b_k)\sqrt{13}$.

Beviset er fullført om vi setter $a_{k+1} = \frac{1}{2}a_k+\frac{13}{2}b_k$ og $b_{k+1} = \frac{1}{2}a_k+\frac{1}{2}b_k$.

Om vi lar $\vec{x_n} = \begin{bmatrix} a_n \\ b_n \end{bmatrix}$, og setter

M =\begin{bmatrix}
\frac{1}{2} & \frac{13}{2} \\
\frac{1}{2} & \frac{1}{2}
\end{bmatrix}

Så vil matriseligningen $\vec{x_{n+1}} = M\vec{x_n}$ kunne finne formler for $a_n$ og $b_n$.

EDIT!

Glemte å legge til at $a_1=\frac{1}{2}$ og $b_1=\frac{1}{2}$. Som må til for å finne formlene.

[Brahmagupta]

Det følger også fra at [tex]\mathbb{Q}(\sqrt{13})=\{ a+b\sqrt{13}: a,b \in\mathbb{Q}\}[/tex] er en kropp; den er lukket under multiplikasjon.
Tok også og løste for følgene og fikk

[tex]a_n=\frac12 (\frac{1+\sqrt{13}}2)^n+\frac12 (\frac{1-\sqrt{13}}2)^n[/tex]

[tex]b_n=\frac1{2\sqrt{13}}(\frac{1+\sqrt{13}}2)^n-\frac1{2\sqrt{13}}(\frac{1-\sqrt{13}}2)^n[/tex]

Det gir litt mindre griseregning å bruke at [tex](a_0,b_0)=(1,0)[/tex] i stedet for å bruke at [tex](a_1,b_1)=(\frac12,\frac12)[/tex].

[Nebuchadnezzar]

Selv brukte jeg bare Pascals trekant, og delte opp i odde og like potenser.
Her vil like gi $a_n$, mens odde vil gi $b_n$ slik at ved å bruke binomialformelen

$ \displaystyle
(a+b)^n = \sum_{i=0}^n \binom{n}{i} a^{n-i} \cdot b^i
$

og deler den opp i like og odde potenser og fås

$
\begin{align*}
a_n & = 2^{-n} \sum_{i=0}^n \binom{n}{2i} \left( \sqrt{13} \right)^{n-2i} \\
b_n & = 2^{-n} \sum_{i=0}^n \binom{n}{2i+1} \left( \sqrt{13} \right)^{n - 2(i+1)}
\end{align*}
$

som ønsket.