matematikk.net

La $a\geq b\geq c\geq 0$ og $a+b+c=3$. Vis at $ab^2+bc^2+ca^2\leq \frac{27}{8}$. Når har vi likhet?

Dette ble noe grisete, er veldig spent på om du har en elegant løsning Plutarco!

Setter [tex]a=b+s[/tex] og [tex]c=b-t[/tex] hvilket gir at [tex]3b+s-t=3[/tex].

[tex]ab^2+bc^2+ca^2=(b+s)b^2+b(b-t)^2+(b-t)(b+s)^2[/tex]
som etter litt regning gir
[tex]3 b^{3} + 3b^{2}(s-t)+b(s-t)^2-ts^2=3b^{3} + b(s-t)(3b+s-t)-ts^{2}[/tex]

Bruker at [tex]3b+s-t=3[/tex] og at [tex]s-t=3-3b[/tex] og får

[tex]3b^{3}-9b^{2}+9b-ts^{2}[/tex]

Hvis vi lar b være konstant ser vi at funksjonen blir maksimert når enten [tex]t=0[/tex] eller [tex]s=0[/tex]
med andre ord at [tex]a=b[/tex] eller [tex]b=c[/tex]. Å sette to av variablene like vil alltid være mulig siden
den siste variabelen er fri slik at den kan sørge for at summen er 3.

Ved å deretter analysere funksjonen [tex]f(b)=3b^{3}-9b^{2}+9b[/tex] ser man at den er voksende på [tex][0,\frac32][/tex]
(merk at siden [tex]a \geq b\geq c[/tex] må [tex]b\leq\frac32[/tex])
Dermed er uttrykket maksimert for [tex]b=\frac32[/tex] som gir [tex](a,b,c)=(\frac32,\frac32,0)[/tex].
[tex]f(\frac32)=\frac{27}8[/tex]

Dermed er [tex]ab^2 + bc^2 + ca^2 \leq \frac{27}8[/tex] med likhet ved [tex](a,b,c)=(\frac32,\frac32,0)[/tex]

Jeg fant ingen fullstendig løsning i det hele tatt, og er også spent på om noen har en elegant løsning. Ellers ser jeg ingenting i veien med løsningen til Brahmagupta, siden det som regel (etter min erfaring) er vanskelig å unngå litt griseri med slike oppgaver.

Selv kom jeg etter litt rot frem til uttrykket $$ ab^2 + bc^2 + ca^2 = \frac{27}{6} - \left( \frac{a^3 + b^3 + c^3}{6} + \frac{(a-b)(b-c)(a-c)}{2} + abc \right) $$

Det er naturlig å tenke seg at uttrykket på høyre side er minst når $ a = b $ og $ c = 0 $, og ved å sette inn numeriske verdier ser vi at det også stemmer med verdiene som er angitt i problemet. Når jeg fortvilt ikke hadde funnet noe bevis og måtte på jobb, la jeg oppgaven til side.

Nå fant jeg en langt finere løsning etter min mening

Først et par delresultater:
1)
Siden [tex]a\geq b\geq c[/tex] har vi at
[tex](a-b)(b-c)(c-a)\leq 0 \Rightarrow a^2b+b^2c+ c^2a\geq ab^2+bc^2+ca^2[/tex]

2)
[tex]a^3+b^3+c^3+3abc\geq ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)[/tex]
Dette er Schurs ulikhet for n=1, lett å bevise!
http://en.wikipedia.org/wiki/Schur's_inequality

Dermed har vi at
[tex](a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+3(ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a))+6abc[/tex]
[tex]\geq (a^3+b^3+c^3+3abc)+3(ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a))[/tex]

Bruker 2)
[tex]\geq 4(ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a))=4((ab^2+bc^2+ca^2)+(a^2b+b^2c+c^2a))[/tex]

Bruker 1)
[tex]\geq8(ab^2+bc^2+ca^2)[/tex]

Vi kan dermed konkludere med at
[tex]\frac{27}8=(\frac{a+b+c}2)^3\geq ab^2+bc^2+ca^2[/tex]

Flott løsning!

Hvordan løste du den Plutarco? Hvor er oppgaven fra?

Brahmagupta skrev:Hvordan løste du den Plutarco? Hvor er oppgaven fra?

Løste den på den stygge måten, omtrent som din første løsning.

Oppgaven er fra http://www.math.ust.hk/excalibur/ , volum 8 no. 1, "olympiad corner", problem 3.