Diofantisk likning
Lagt inn: 26/11-2013 19:17
Finn alle heltallige løsninger av
$x_{1}^4 + x_{2}^4 + ... + x_{14}^4 = 15999$
$x_{1}^4 + x_{2}^4 + ... + x_{14}^4 = 15999$
Litt prøv og feil, men ser da ut til at jeg fant en løsning til slutt.
Vi legger merke til at [tex]15999 \equiv -1 \equiv 15 (\textrm{mod}\ 16)[/tex]
Så regner vi ut alle fjerdepotenser (mod 16), og finner ut at alle disse er enten 0 eller 1 modulo 16, altså er [tex]x_i \equiv 0,1 (\textrm{mod}\ 16) \quad \forall i[/tex]
men siden vi bare har 14 ledd i summen vår, må vi ha [tex]0 \leq \sum_i^{14} x_i^4 \leq 14 (\textrm{mod}\ 16)[/tex]
Så ligningen har ingen heltallsløsninger.