Kveldens ulikhet

[Gustav]

Vis at

$\left (a^2+b+\frac34\right )\left (b^2+a+\frac34\right )\geq \left (2a+\frac12\right ) \left (2b+\frac12\right )$

for alle positive, reelle $a$ og $b$.

[jhoe06]

Har at $ (a-b)^2 \geq 0 $, slik at $ a^2 + b^2 \geq 2ab $. Spesielt har vi ved å la $ b = 1/2 $ at $ a^2 + 1/4 \geq a $, og tilsvarende for $ b $.

Dermed får vi at

$ (a^2 + b + \frac{3}{4})(b^2 + a + \frac{3}{4}) $
$ = (a^2 + \frac{1}{4}+ b + \frac{1}{2})(b^2 + \frac{1}{4} + a + \frac{1}{2}) $
$ \geq (a + b + \frac{1}{2})^2 $
$ = a^2 + b^2 + 2ab + a + b + \frac{1}{4} $
$ \geq 2ab + 2ab + a + b + \frac{1}{4} $
$ = (2a + \frac{1}{2}) (2b + \frac{1}{2}) $

[Brahmagupta]

Man kan også se at ulikheten [tex](a+b+\frac12)^2\geq(2a+\frac12)(2b+\frac12)[/tex]
følger direkte fra [tex](x+y)^2\geq4xy[/tex] ved å omskrive

[tex]((a+\frac14)+(b+\frac14))^2\geq4(a+\frac14)(b+\frac14)[/tex]