Side 1 av 1
Vis at $\pi^2 > 2^\pi $
Lagt inn: 27/10-2014 10:49
av Nebuchadnezzar
liten nøtt på mandags morgen. Vis at $\pi^2 > 2^\pi$.
Så en frekk løsning på en kjent matteside, så er sikkert flere som har sett den før.
Re: Vis at $\pi^2 > 2^\pi $
Lagt inn: 27/10-2014 14:00
av Brahmagupta
Denne er ikke så veldig elegant, men allikevel:
$(\pi^2)^7=\pi^{14}>3^{14}>2^{22}>2^{7\pi}=(2^{\pi})^7\Rightarrow \pi^2>2^{\pi}$
Re: Vis at $\pi^2 > 2^\pi $
Lagt inn: 27/10-2014 14:08
av Aleks855
Det faller kanskje på sin egen rimelighet, men hvordan bekrefter du at $3^{14} > 2^{22}$?
Jeg mener hvis man likevel skal løse oppgaven uten kalkulator.
Re: Vis at $\pi^2 > 2^\pi $
Lagt inn: 28/10-2014 16:26
av Flaw
Jeg har en følelse av at et smart sted å begynne, er en av pi sine faktorielle ekspansjoner. [tex]\frac{2}{\pi}=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2} \cdots[/tex]
Re: Vis at $\pi^2 > 2^\pi $
Lagt inn: 29/11-2014 15:13
av Gustav
Aleks855 skrev:Det faller kanskje på sin egen rimelighet, men hvordan bekrefter du at $3^{14} > 2^{22}$?
Jeg mener hvis man likevel skal løse oppgaven uten kalkulator.
Må du ha kalkulator for å regne ut at $3^7 > 2^{11}$ ?
Re: Vis at $\pi^2 > 2^\pi $
Lagt inn: 29/11-2014 16:56
av Janhaa
plutarco skrev:Aleks855 skrev:Det faller kanskje på sin egen rimelighet, men hvordan bekrefter du at $3^{14} > 2^{22}$?
Jeg mener hvis man likevel skal løse oppgaven uten kalkulator.
Må du ha kalkulator for å regne ut at $3^7 > 2^{11}$ ?
Enkel potensregning/tallteori light...
Re: Vis at $\pi^2 > 2^\pi $
Lagt inn: 01/12-2014 22:02
av Stringselings
[tex]f(n)=n^{2}[/tex]
[tex]g(n)=2^{n}[/tex]
[tex]f(3)=9 > g(3)=8[/tex]
[tex]f(4)=16=g(4)[/tex]
[tex]f(\pi)>g(\pi)[/tex]
Er dette nokk ?
Vet hvordan en typisk parabel og eksponential graf ser ut. Kan ikke se for meg at [tex]f(n)[/tex] og [tex]g(n)[/tex] skjærer hverandre for en n verdi mellom 3 og 4, når de skjærer hverandre for [tex]n=2[/tex] og [tex]n=4[/tex]. Kan man vise at [tex]f(n)=g(n)[/tex] bare har 2 løsninger eller finne en generell løsning på liknngen ?
Re: Vis at $\pi^2 > 2^\pi $
Lagt inn: 01/12-2014 22:15
av Stringselings
Forresten..
Hvis jeg skriver om likningen så får jeg vist at [tex]n=2[/tex] og [tex]n=4[/tex] er de eneste løsningene.
[tex]n^2=2^n[/tex]
[tex]2lgn=nlg2[/tex]
[tex]lgn/n=lg2/2[/tex]
Re: Vis at $\pi^2 > 2^\pi $
Lagt inn: 07/12-2014 14:58
av Gustav
Stringselings skrev:Forresten..
Hvis jeg skriver om likningen så får jeg vist at [tex]n=2[/tex] og [tex]n=4[/tex] er de eneste løsningene.
[tex]n^2=2^n[/tex]
[tex]2lgn=nlg2[/tex]
[tex]lgn/n=lg2/2[/tex]
La $f(x)=\frac{\lg x}{x}-\frac{\lg 2}{2}$. Da er $f'(x)=\frac{1-\ln x}{x^2\ln 10}$. For 0<x<e er f(x) strengt voksende, og for x>e er f(x) strengt synkende. Siden f(2)=f(4)=0, må f(x)>0 for alle 2<x<4. Dermed er $f(\pi)>0$