Fine løsninger! Benyttet samme argument på den andre oppgaven.
plutarco skrev:Oppfølger:
La n være et naturlig tall og $x_1,x_2,...,x_n>0$ er reelle tall slik at $x_1\cdot x_2\cdots x_n=1$.
Vis at $\frac{1}{n-1+x_1}+\frac{1}{n-1+x_2}+...+\frac{1}{n-1+x_n}\leq 1$
EDIT:
Har sett en løsning av denne som benytter Karamatas ulikhet, men her er en annen
løsning som tildels generaliserer argumentet brukt i oppgave 2 over.
Definer $s=n-1$ og $\prod_{i=1}^n(s+x_i)=\sum_{k=0}^n\sigma_ks^{n-k}$. For eksempel
er da $\sigma_1=x_1+x_2+\cdots+x_n$ og $\sigma_n=x_1x_2\cdots x_n$.
Hvis vi nå multipliserer begge sider av ulikheten med fellesnevneren $\prod_i{(s+x_i)}$,
ender vi opp med den ekvivalente ulikheten $\prod_{i=1}^n(s+x_i)\geq\sum_{i=1}^n\prod_{j\neq i}(s+x_j)$.
Hvis man skriver ut høyresiden kan man se at dette blir
\[(s+1)s^{n-1}+ss^{n-2}\sigma_1+(s-1)s^{n-3}\sigma_2+\cdots+(s-(s-2))s\sigma_{n-2}+(s-(s-1))\sigma_{n-1}\]
\[=s^{n-1}+(s^n+s^{n-1}\sigma_1+\cdots+s\sigma_{n-1})-(s^{n-3}\sigma_2+2s^{n-4}\sigma_3+\cdots+(s-1)\sigma_{n-1}).\]
Uttrykket i den første parentesen kanselleres mot nesten hele venstresiden
(utenom $\sigma_n$) og vi står igjen med ulikheten
\[s^{n-3}\sigma_2+2s^{n-4}\sigma_3+\cdots+(s-2)s\sigma_{n-2}+(s-1)\sigma_{n-1}+\sigma_n\geq s^{n-1}.\]
Fra AM-GM og $x_1\cdots x_n=1$ følger det at $\sigma_k\geq\binom{n}{k}$, så om vi kan vise at
\[s^n=\binom{n}{2}s^{n-2}+2\binom{n}{3}s^{n-3}+\cdots+(s-1)s\binom{n}{n-1}+s\binom{n}{n}\]
(her har jeg satt inn den nedre skranken for $\sigma_k$ og multiplisert med $s$),
eller ekvivalent $\sum_{k=0}^n(n-k-1)\binom{n}{n-k}s^k=\sum_{k=0}^n(n-k-1)\binom{n}{k}s^k=0$,
så er vi i mål!
Deriverer vi sammenhengen $(s+1)^n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}s^k$ med hensyn til $s$,
ender vi opp med $n(s+1)^{n-1}=\sum_{k=0}^nk\binom{n}{k}s^{k-1}$. Videre ved å gange med
$s$ oppnår vi også $\sum_{k=0}^nk\binom{n}{k}s^k=ns(s+1)^{n-1}=S_1$. La nå
$S_2=\sum_{k=0}^n(n-k)\binom{n}{k}s^k$ og observer at
\[S_1+S_2=\sum_{k=0}^nk\binom{n}{k}s^k+\sum_{k=0}^n(n-k)\binom{n}{k}s^k=n\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}s^k=n(s+1)^n.\]
Dermed er $S_2=n(s+1)^n-ns(s+1)^{n-1}=n(s+1)^{n-1}=(s+1)^n$, siden $s=n-1$. Endelig
kommer vi frem til
\[\sum_{k=0}^n(n-k-1)\binom{n}{k}s^k=\sum_{k=0}^n(n-k)\binom{n}{k}s^k-\sum_{k=1}^n\binom{n}{k}s^k=(s+1)^n-(s+1)^n=0,\]
hvilket var det vi ønsket å vise.
Jeg skal ikke påstå at dette var en særlig elegant løsning, men det er interessant
at man faktisk kan løse en slik oppgave gjennom å multiplisere ut parenteser,
når det egentlig er det siste man vil gjøre i slike tilfeller.
