IMO ulikhet

[Brahmagupta]

Vis at for positive reelle tall $a,b,c$ gjelder ulikheten
\[\frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+8ca}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+8ab}}\geq 1.\]

[Kjemikern]

Vis at for positive reelle tall $a,b,c$ gjelder ulikheten
\[\frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+8ca}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+8ab}}\geq 1.\]

Å forandre [tex](a,b,c)[/tex] til [tex](qa+qb+qc)[/tex] vil ikke gjøre noe forskjell i ulikheten, da kan vi sette [tex]q=\frac{1}{\sqrt[3]{abc}}[/tex] og dermed anta at [tex]abc=1[/tex].

Ulikheten vil derfor bli [tex]\sum \frac{a\sqrt{a}}{\sqrt{a^3+8}}\geq 1.[/tex] Tar vi [tex]x=\frac{2}{a},y=\frac{2}{b},z=\frac{2}{c}[/tex], ender vi opp med følgende tilsvarende ulikhet;

[tex]\sum \frac{1}{\sqrt{1+x^3}}\geq 1[/tex]. Vi kan derfor se at [tex]\sqrt{(x+1)(x^2-x+1)}\leq \frac{x^2+2}{2}[/tex], og dette kan vi prøve å bevise [tex]\sum \frac{2}{x^2+2}\geq 1.[/tex]

Den siste ulikheten er jo ekvivalent med [tex]x^2+y^2+z^2\geq 12[/tex], som er jo korrekt, ettersom [tex]xyz=8[/tex].