matematikk.net

Dette er en liten hjernetrim. Du trenge ikke kunne noe fysikk. Dette kan løses kun med matte.
Du har et uendelig nettverk av 1 ohms motstander som i bildet
http://d3i5bpxkxvwmz.cloudfront.net/res ... 00_487.png
Hva er motstanden R mellom punktene A og B?

Uten fysikk
Ohms lov sier at I=V/R, og med R=1, så er I=V

Tips: Prøv å løse det uten uendelige rekker

Detter er ikke vanskelig å løse. Her er uansett et NYTT tilsvarende problem.
Igjen et uendelig nettverk av motstander men i 1 dimensjon. Hva er totalmotstanden Z. La gjerne R=1.



https://imgur.com/f8mwwrJ

Uten fysikk
Ohms lov sier at I=V/R, og med R=1, så er I=V

Nå er ikke V = RI korrekt symbolbruk, men la gå.

For parallellkoblede motstandere vil reultantkraften Z være gitt ved $[tex]\left ( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} ...+\frac{1}{R_n} \right )^{-1}[/tex]. Siden alle motstandene har motstand lik 1 Ohm (spiller de facto ingen rolle), vil summen i parantesen gå mot uendelig. Siden parantesen er opphøyd i -1 blir Z =$ \left (\infty \right)^{-1}$

Nå er ikke V = RI korrekt symbolbruk, men la gå.

For parallellkoblede motstandere vil reultantkraften Z være gitt ved $Z = \left ( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} ...+\frac{1}{R_n} \right )^{-1}$. Siden alle motstandene har motstand lik 1 Ohm (spiller de facto ingen rolle), vil summen i parantesen gå mot uendelig. Siden parantesen er opphøyd i -1 blir $Z = \left ( \infty \right )^{-1} = \frac {1}{\infty}$.

Grenseverdien til Z blir derfor 0, og er den matematiske forklaringen på hva motstanden blir.

Ser man praktisk på det kan man se på en bøtte med vann. Om man har få hull vil vannet renne sakte ut av bøtten. Lager man flere hull vil prosessen gå raskere og når antall hull går mot uendelig ( bøtten har ikke lenger en bunn), møter vannet ikke noen motstand på sin vei.

hint: Svaret er ikke 0. Med R=1: Motstanden må være større enn 1 ohm, da den blir summen av den første motstanden pluss litt mer.

Ett hint til:
Motstanden til nettverket er Z. Anta alle R er 1 for enkelhets skyld.

Vi kan se at hvis vi forlenger nettverket etter samme mønster med 2 nye motstander der Z er tegnet inn (en parallell, og en i serie), så er totalmotstanden fortsatt det samme)

Hint og Løsning nedenfor:

Se figur.
Motstanden til nettverket er Z. Vi antar R=1 for enkelhet.
Vi kobler nå til ett nytt ledd i nettverket (tegnet i rødt) og motstanden blir:
[tex]Z1=R+ \frac{1}{\frac{1}{R}+\frac{1}{Z}}[/tex]





























Vi bruker R=1 og ser at det nye nettverket med røde motstander Z1 lagt til er *akkurat* det samme som det sorte Z fordi det er uendelig. Da må Z1=Z, og vi får:

[tex]Z=1+ \frac{1}{1+\frac{1}{Z}}[/tex] altså det gylne snitt.


[tex]Z=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\approx 1,618\Omega[/tex]

Du kan også se svaret rett fra figur med litt hoderegning:
Fra bildet ser du at når du legger til den siste seriemotstanden blir totalmotstanden den resiproke av hva den var. altså 1/Z+1=Z, som gir det gylne snitt.